Номер 1.35, страница 7 - гдз по физике 8 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Внутренняя энергия - номер 1.35, страница 7.

Условие.

1.35 Вещество массой $m_1$ и температурой $t_1$ смешали с тем же веществом массой $m_2$ и температурой $t_2$. Выведите общую формулу для определения температуры смеси.

Решение.

Дано:

Масса первого количества вещества: $m_1$
Температура первого количества вещества: $t_1$
Масса второго количества вещества: $m_2$
Температура второго количества вещества: $t_2$
Вещество одно и то же, следовательно, его удельная теплоемкость $\text{c}$ одинакова для обеих порций.

Данные в задаче представлены в общем виде. В системе СИ:
Масса $\text{m}$ измеряется в килограммах (кг).
Температура $\text{t}$ измеряется в Кельвинах (К). Формула также будет верна для градусов Цельсия (°C), так как является линейной относительно температур.

Найти:

Общую формулу для определения температуры смеси $\text{t}$.

Решение:

При смешивании двух порций вещества с разными температурами происходит теплообмен. Та порция вещества, которая имеет более высокую температуру, отдает тепло, а та, у которой температура ниже, — получает. Этот процесс продолжается до тех пор, пока система не придет в состояние теплового равновесия, то есть пока температура всей смеси не станет одинаковой. Обозначим эту конечную температуру как $\text{t}$.

Будем считать систему теплоизолированной, то есть теплообмен с окружающей средой отсутствует. В этом случае выполняется закон сохранения энергии, который для тепловых процессов формулируется как уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное более горячим телом ($Q_{отданное}$), равно количеству теплоты, полученному более холодным телом ($Q_{полученное}$).

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Для определенности предположим, что $t_1 > t_2$. Тогда первая порция вещества будет остывать до температуры $\text{t}$, а вторая — нагреваться до той же температуры $\text{t}$. Конечная температура смеси будет находиться в интервале $t_2 < t < t_1$.

Количество теплоты, которое отдаст первая порция вещества, определяется по формуле: $Q_{отданное} = c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t)$

Количество теплоты, которое получит вторая порция вещества: $Q_{полученное} = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Теперь составим уравнение теплового баланса, приравняв отданное и полученное количество теплоты: $c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t) = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Так как вещество одно и то же, его удельная теплоемкость $\text{c}$ в левой и правой частях уравнения одинакова. Мы можем сократить ее: $m_1 \cdot (t_1 - t) = m_2 \cdot (t - t_2)$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно конечной температуры $\text{t}$. Для этого сначала раскроем скобки: $m_1 t_1 - m_1 t = m_2 t - m_2 t_2$

Перенесем все слагаемые, содержащие искомую температуру $\text{t}$, в одну часть уравнения, а остальные слагаемые — в другую: $m_1 t_1 + m_2 t_2 = m_1 t + m_2 t$

В правой части вынесем $\text{t}$ за скобки: $m_1 t_1 + m_2 t_2 = t(m_1 + m_2)$

Наконец, выразим конечную температуру смеси $\text{t}$: $t = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2}$

Полученная формула является общей и не зависит от того, какая из начальных температур была выше. Она показывает, что конечная температура смеси является средневзвешенным значением начальных температур, где в качестве весов выступают массы.

Ответ: $t = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2}$