Номер 1.36, страница 7 - гдз по физике 8 класс задачник Артеменков, Ломаченков

I. Внутренняя энергия - номер 1.36, страница 7.

Условие.

1.36 При приготовлении чая заполнили кружку на $3/4$ водой при температуре $96^\circ\text{C}$, оставшийся объём заполнили водой температурой $20^\circ\text{C}$. Определите температуру воды в чашке.

Решение.

Дано:

$V_1 = \frac{3}{4}V$ (объем горячей воды)

$t_1 = 96$ °C (температура горячей воды)

$V_2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}V$ (объем холодной воды)

$t_2 = 20$ °C (температура холодной воды)

Перевод в систему СИ:
$T_1 = 96 + 273.15 = 369.15$ К
$T_2 = 20 + 273.15 = 293.15$ К
(Примечание: для данной задачи расчет можно вести в градусах Цельсия, так как в уравнение входят разности температур)

Найти:

$\text{t}$ — установившаяся температура воды в чашке.

Решение:

Задача решается на основе уравнения теплового баланса. В изолированной системе (пренебрегаем теплообменом с кружкой и окружающей средой) количество теплоты, отданное горячей водой при остывании, равно количеству теплоты, полученному холодной водой при нагревании, до тех пор, пока их температуры не станут равными.

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Количество теплоты, которое отдаст горячая вода, определяется формулой:

$Q_1 = c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t)$

Количество теплоты, которое получит холодная вода, определяется формулой:

$Q_2 = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Здесь $\text{c}$ — удельная теплоемкость воды, $m_1$ и $m_2$ — массы горячей и холодной воды, $\text{t}$ — конечная температура смеси.

Приравниваем $Q_1$ и $Q_2$:

$c \cdot m_1 \cdot (t_1 - t) = c \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Массу воды можно выразить через ее объем $\text{V}$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Считаем плотность воды постоянной.

$m_1 = \rho \cdot V_1 = \rho \cdot \frac{3}{4}V$

$m_2 = \rho \cdot V_2 = \rho \cdot \frac{1}{4}V$

Подставим выражения для масс в уравнение теплового баланса:

$c \cdot \rho \cdot \frac{3}{4}V \cdot (t_1 - t) = c \cdot \rho \cdot \frac{1}{4}V \cdot (t - t_2)$

Сократим общие множители $c, \rho, V$ и $\frac{1}{4}$ в обеих частях уравнения. Получим:

$3 \cdot (t_1 - t) = 1 \cdot (t - t_2)$

Теперь раскроем скобки и решим уравнение относительно конечной температуры $\text{t}$:

$3t_1 - 3t = t - t_2$

$3t_1 + t_2 = t + 3t$

$3t_1 + t_2 = 4t$

$t = \frac{3t_1 + t_2}{4}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$t = \frac{3 \cdot 96 \text{ °C} + 20 \text{ °C}}{4} = \frac{288 \text{ °C} + 20 \text{ °C}}{4} = \frac{308 \text{ °C}}{4} = 77 \text{ °C}$

Ответ: температура воды в чашке установится на отметке 77 °C.