Номер 8.31, страница 44 - гдз по физике 8 класс задачник Артеменков, Ломаченков

VIII. Основы кинематики - номер 8.31, страница 44.

Условие.

8.31 Движения двух материальных точек заданы уравнениями $x_1 = 15 + t^2$ и $x_2 = 8 \cdot t$. Охарактеризуйте движение каждой материальной точки, определите время и место их встречи.

Решение.

Охарактеризуйте движение каждой материальной точки

Движение первой материальной точки описывается уравнением $x_1 = 15 + t^2$.
Это уравнение соответствует общему виду уравнения равноускоренного движения: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$.
Сравнивая общее уравнение с заданным, определим параметры движения первой точки:
- Начальная координата: $x_{01} = 15$ м.
- Проекция начальной скорости: $v_{01} = 0$ м/с.
- Проекция ускорения: из $\frac{a_1t^2}{2} = t^2$ следует, что $a_1 = 2$ м/с².
Следовательно, первая материальная точка совершает равноускоренное движение из точки с координатой 15 м, без начальной скорости, с постоянным ускорением 2 м/с², направленным вдоль оси Ох.

Движение второй материальной точки описывается уравнением $x_2 = 8 \cdot t$.
Это уравнение соответствует общему виду уравнения равномерного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v t$.
Сравнивая общее уравнение с заданным, определим параметры движения второй точки:
- Начальная координата: $x_{02} = 0$ м.
- Проекция скорости: $v_2 = 8$ м/с.
- Проекция ускорения: $a_2 = 0$ м/с².
Следовательно, вторая материальная точка совершает равномерное прямолинейное движение из начала координат с постоянной скоростью 8 м/с, направленной вдоль оси Ох.

Ответ: Первая точка движется равноускоренно из координаты $x_0=15$ м без начальной скорости с ускорением $a=2$ м/с². Вторая точка движется равномерно из начала координат со скоростью $v=8$ м/с.

Определите время и место их встречи

Дано:
Уравнение движения первой точки: $x_1 = 15 + t^2$
Уравнение движения второй точки: $x_2 = 8t$
Все величины в уравнениях выражены в единицах СИ.

Найти:
Время встречи $t_{встр}$
Координата встречи $x_{встр}$

Решение:
Встреча материальных точек произойдет в тот момент времени $\text{t}$, когда их координаты будут одинаковы, то есть $x_1 = x_2$. Приравняем правые части данных уравнений: $15 + t^2 = 8t$

Перенесем все слагаемые в левую часть и получим квадратное уравнение относительно времени $\text{t}$: $t^2 - 8t + 15 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $\text{D}$: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, что означает, что точки встретятся дважды. Найдем эти корни (моменты времени встреч): $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = 3$ с
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = 5$ с

Теперь определим координаты (места) встреч, подставив полученные значения времени в любое из двух уравнений движения. Воспользуемся более простым уравнением $x_2 = 8t$.

Координата первой встречи (при $t_1 = 3$ с): $x_{встр1} = 8 \cdot t_1 = 8 \cdot 3 = 24$ м

Координата второй встречи (при $t_2 = 5$ с): $x_{встр2} = 8 \cdot t_2 = 8 \cdot 5 = 40$ м

Ответ: Точки встретятся дважды: в первый раз в момент времени $t = 3$ с в точке с координатой $x = 24$ м, а во второй раз — в момент времени $t = 5$ с в точке с координатой $x = 40$ м.