Номер 8.24, страница 43 - гдз по физике 8 класс задачник Артеменков, Ломаченков

VIII. Основы кинематики - номер 8.24, страница 43.

Условие.

8.24 Первую половину пути велосипедист проехал со скоростью 15 км/ч. С какой скоростью двигался велосипедист на оставшейся части пути, если средняя скорость на всём пути оказалась равной 10 км/ч?

Решение.

Дано:

$v_1 = 15$ км/ч

$v_{ср} = 10$ км/ч

$S_1 = S_2 = S/2$ (где $\text{S}$ - весь путь)

$v_1 = 15 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{150}{36} = \frac{25}{6} \approx 4,17$ м/с

$v_{ср} = 10 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{100}{36} = \frac{25}{9} \approx 2,78$ м/с

Найти:

$v_2$

Решение:

Средняя скорость вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь $S_{общ}$ состоит из двух равных участков: $S_{общ} = S_1 + S_2 = S/2 + S/2 = S$.

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени, затраченного на каждый участок: $t_{общ} = t_1 + t_2$.

Время на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.

Время на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$.

Подставим выражения для времени в формулу общего времени:

$t_{общ} = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = S \cdot (\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2})$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{S \cdot (\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2})}$

Сократим $\text{S}$:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}} = \frac{1}{\frac{v_2 + v_1}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$

Выразим из этой формулы искомую скорость $v_2$:

$v_{ср} \cdot (v_1 + v_2) = 2v_1v_2$

$v_{ср}v_1 + v_{ср}v_2 = 2v_1v_2$

$v_{ср}v_1 = 2v_1v_2 - v_{ср}v_2$

$v_{ср}v_1 = v_2(2v_1 - v_{ср})$

$v_2 = \frac{v_{ср}v_1}{2v_1 - v_{ср}}$

Подставим числовые значения в км/ч, так как это упростит вычисления, а единицы измерения согласованы:

$v_2 = \frac{10 \cdot 15}{2 \cdot 15 - 10} = \frac{150}{30 - 10} = \frac{150}{20} = 7,5$ км/ч

Переведем результат в систему СИ:

$v_2 = 7,5 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{75}{36} = \frac{25}{12} \approx 2,08$ м/с

Ответ: скорость велосипедиста на оставшейся части пути была равна 7,5 км/ч.