Номер 7, страница 6 - гдз по физике 8 класс самостоятельные работы Генденштейн, Орлов

Самостоятельная работа 1. Тепловые явления. Вариант 1 - номер 7, страница 6.

Условие.

7*. Необходимо набрать в детскую ванночку $20 \text{ л}$ воды при температуре $36^\circ\text{C}$, смешивая холодную воду с температурой $20^\circ\text{C}$ и горячую воду с температурой $60^\circ\text{C}$. Сколько надо взять горячей воды?

A. $8 \text{ л}$.

Б. $12 \text{ л}$.

В. $1,58 \text{ л}$.

Г. $16 \text{ л}$.

Решение.

Дано:

Общий объем воды, $V_{общ} = 20$ л

Температура смеси, $t_{общ} = 36$ °C

Температура холодной воды, $t_{хол} = 20$ °C

Температура горячей воды, $t_{гор} = 60$ °C

$V_{общ} = 20$ л $= 20 \cdot 10^{-3}$ м$^3 = 0,02$ м$^3$

Поскольку в уравнении теплового баланса удельная теплоемкость и плотность воды сокращаются, а разность температур в шкалах Цельсия и Кельвина численно равна, для решения задачи можно производить вычисления в литрах (л) и градусах Цельсия (°C).

Найти:

Объем горячей воды, $V_{гор}$ - ?

Решение:

При смешивании горячей и холодной воды составляется уравнение теплового баланса. В изолированной системе количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой ($Q_{пол}$).

$Q_{отд} = Q_{пол}$

Количество теплоты, отданное или полученное телом, вычисляется по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$

где $\text{c}$ — удельная теплоемкость вещества, $\text{m}$ — его масса, а $\Delta t$ — изменение температуры.

Для горячей воды, которая остывает от $t_{гор}$ до $t_{общ}$:

$Q_{отд} = c \cdot m_{гор} \cdot (t_{гор} - t_{общ})$

Для холодной воды, которая нагревается от $t_{хол}$ до $t_{общ}$:

$Q_{пол} = c \cdot m_{хол} \cdot (t_{общ} - t_{хол})$

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$c \cdot m_{гор} \cdot (t_{гор} - t_{общ}) = c \cdot m_{хол} \cdot (t_{общ} - t_{хол})$

Удельная теплоемкость воды $\text{c}$ в левой и правой частях уравнения одинакова, поэтому ее можно сократить.

$m_{гор} \cdot (t_{гор} - t_{общ}) = m_{хол} \cdot (t_{общ} - t_{хол})$

Массу воды можно выразить через ее объем $\text{V}$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Считая плотность воды для заданных температур примерно одинаковой, мы можем заменить массы на объемы, так как плотность $\rho$ также сократится.

$\rho \cdot V_{гор} \cdot (t_{гор} - t_{общ}) = \rho \cdot V_{хол} \cdot (t_{общ} - t_{хол})$

$V_{гор} \cdot (t_{гор} - t_{общ}) = V_{хол} \cdot (t_{общ} - t_{хол})$

Общий объем смеси равен сумме объемов холодной и горячей воды:

$V_{общ} = V_{хол} + V_{гор}$

Из этого соотношения выразим объем холодной воды $V_{хол}$:

$V_{хол} = V_{общ} - V_{гор}$

Подставим это выражение в уравнение теплового баланса:

$V_{гор} \cdot (t_{гор} - t_{общ}) = (V_{общ} - V_{гор}) \cdot (t_{общ} - t_{хол})$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$V_{гор} \cdot (60 \text{°C} - 36 \text{°C}) = (20 \text{ л} - V_{гор}) \cdot (36 \text{°C} - 20 \text{°C})$

$V_{гор} \cdot 24 = (20 - V_{гор}) \cdot 16$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$24 \cdot V_{гор} = 20 \cdot 16 - 16 \cdot V_{гор}$

$24 \cdot V_{гор} = 320 - 16 \cdot V_{гор}$

Перенесем все слагаемые, содержащие $V_{гор}$, в левую часть:

$24 \cdot V_{гор} + 16 \cdot V_{гор} = 320$

$40 \cdot V_{гор} = 320$

Найдем искомый объем горячей воды:

$V_{гор} = \frac{320}{40}$

$V_{гор} = 8$ л

Ответ: необходимо взять 8 л горячей воды.