Номер 4, страница 185, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Глава III. Электрические явления. Параграф 21. Работа и мощность электрического тока - номер 4, страница 185.

Условие.

4. В электроплите, рассчитанной на напряжение $220 \text{ В}$, есть две обмотки сопротивлениями $R_1 = 25 \text{ Ом}$ и $R_2 = 50 \text{ Ом}$. Сколько времени понадобится, чтобы довести $3 \text{ л}$ воды от $20 ^\circ\text{С}$ до кипения, если:

а) включить только первую обмотку;

б) включить только вторую обмотку;

в) включить обе обмотки последовательно;

г) включить обе обмотки параллельно?

Примите, что КПД электроплиты во всех случаях равен $50 \, \%$.

Решение.

Дано:

$U = 220 \text{ В}$

$R_1 = 25 \text{ Ом}$

$R_2 = 50 \text{ Ом}$

$V = 3 \text{ л}$

$t_{начальная} = 20 \text{ }^\circ\text{C}$

$t_{конечная} = 100 \text{ }^\circ\text{C}$ (температура кипения воды)

$\eta = 50 \%$

$c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{ }^\circ\text{C}}$ (удельная теплоемкость воды)

$\rho = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)

Перевод в систему СИ:

$V = 3 \text{ л} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$\eta = 50 \% = 0.5$

Найти:

$t_а, t_б, t_в, t_г$

Решение:

1. Найдем массу воды:

$m = \rho \cdot V = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 3 \text{ кг}$

2. Рассчитаем количество теплоты ($Q_{полезн}$), необходимое для нагрева воды от начальной температуры до кипения:

$Q_{полезн} = c \cdot m \cdot (t_{конечная} - t_{начальная})$

$Q_{полезн} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{ }^\circ\text{C}} \cdot 3 \text{ кг} \cdot (100 \text{ }^\circ\text{C} - 20 \text{ }^\circ\text{C}) = 12600 \cdot 80 = 1008000 \text{ Дж}$

3. Количество теплоты, выделяемое электроплитой ($Q_{затрач}$), связано с полезной теплотой через КПД:

$\eta = \frac{Q_{полезн}}{Q_{затрач}}$, откуда $Q_{затрач} = \frac{Q_{полезн}}{\eta}$

$Q_{затрач}$ также равно работе электрического тока: $Q_{затрач} = P \cdot t = \frac{U^2}{R} \cdot t$, где $\text{R}$ – общее сопротивление включенных обмоток, а $\text{t}$ – время.

4. Приравняем два выражения для $Q_{затрач}$ и выразим время $\text{t}$:

$\frac{Q_{полезн}}{\eta} = \frac{U^2}{R} \cdot t$

$t = \frac{Q_{полезн} \cdot R}{\eta \cdot U^2}$

Подставим известные значения, кроме сопротивления $\text{R}$, которое будет разным для каждого случая:

$t = \frac{1008000 \text{ Дж} \cdot R}{0.5 \cdot (220 \text{ В})^2} = \frac{1008000 \cdot R}{0.5 \cdot 48400} = \frac{1008000 \cdot R}{24200} \approx 41.65 \cdot R$

Теперь рассчитаем время для каждого из четырех случаев.

а) включить только первую обмотку

Сопротивление цепи равно сопротивлению первой обмотки: $R_а = R_1 = 25 \text{ Ом}$.

$t_а = \frac{1008000 \cdot 25}{24200} = \frac{25200000}{24200} \approx 1041 \text{ с}$

Переведем в минуты: $1041 \text{ с} / 60 \approx 17.4 \text{ мин}$.

Ответ: время нагрева составит примерно $1041$ с или $17.4$ мин.

б) включить только вторую обмотку

Сопротивление цепи равно сопротивлению второй обмотки: $R_б = R_2 = 50 \text{ Ом}$.

$t_б = \frac{1008000 \cdot 50}{24200} = \frac{50400000}{24200} \approx 2083 \text{ с}$

Переведем в минуты: $2083 \text{ с} / 60 \approx 34.7 \text{ мин}$.

Ответ: время нагрева составит примерно $2083$ с или $34.7$ мин.

в) включить обе обмотки последовательно

При последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений:

$R_в = R_1 + R_2 = 25 \text{ Ом} + 50 \text{ Ом} = 75 \text{ Ом}$

$t_в = \frac{1008000 \cdot 75}{24200} = \frac{75600000}{24200} \approx 3124 \text{ с}$

Переведем в минуты: $3124 \text{ с} / 60 \approx 52.1 \text{ мин}$.

Ответ: время нагрева составит примерно $3124$ с или $52.1$ мин.

г) включить обе обмотки параллельно

При параллельном соединении общее сопротивление находится по формуле:

$R_г = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{25 \cdot 50}{25 + 50} = \frac{1250}{75} \approx 16.67 \text{ Ом}$

$t_г = \frac{1008000 \cdot 16.67}{24200} = \frac{16802460}{24200} \approx 694 \text{ с}$

Переведем в минуты: $694 \text{ с} / 60 \approx 11.6 \text{ мин}$.

Ответ: время нагрева составит примерно $694$ с или $11.6$ мин.