Номер 2, страница 185, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Глава III. Электрические явления. Параграф 21. Работа и мощность электрического тока - номер 2, страница 185.

Условие.

2. В электроплите есть два нагревательных элемента. Если включён только первый, то вода в кастрюле, поставленной на электроплиту, закипает через 12 мин. Если нагревательные элементы включены последовательно, то вода закипает через 36 мин. Сколько времени понадобится, чтобы довести воду до кипения, если:

а) включить только второй нагревательный элемент;

б) включить нагревательные элементы параллельно?

Примите, что теплопередачу окружающей среде можно не учитывать.

Решение.

Дано:

$t_1 = 12$ мин

$t_{посл} = 36$ мин

$t_1 = 12 \cdot 60 = 720$ с
$t_{посл} = 36 \cdot 60 = 2160$ с

Найти:

а) $t_2$ - ?

б) $t_{пар}$ - ?

Решение:

Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для нагревания воды до кипения, в каждом случае одинаково, так как масса воды и разность температур не меняются. По закону Джоуля-Ленца, это количество теплоты равно работе электрического тока: $Q = P \cdot t$, где $\text{P}$ — мощность нагревателя, а $\text{t}$ — время нагрева. Мощность, в свою очередь, выражается через напряжение сети $\text{U}$ и сопротивление нагревателя $\text{R}$ как $P = \frac{U^2}{R}$. Таким образом, получаем формулу:

$Q = \frac{U^2}{R} \cdot t$

Отсюда можно выразить время, необходимое для закипания воды:

$t = \frac{Q \cdot R}{U^2}$

Поскольку величины $\text{Q}$ (количество теплоты) и $\text{U}$ (напряжение в сети) постоянны для всех рассматриваемых случаев, время нагрева $\text{t}$ прямо пропорционально сопротивлению $\text{R}$ нагревательного элемента (или их комбинации).

а)

Когда нагревательные элементы с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ включены последовательно, их общее сопротивление равно сумме сопротивлений: $R_{посл} = R_1 + R_2$.

Время закипания при последовательном соединении можно выразить через времена закипания для каждого элемента в отдельности:

$t_{посл} = \frac{Q \cdot R_{посл}}{U^2} = \frac{Q \cdot (R_1 + R_2)}{U^2} = \frac{Q \cdot R_1}{U^2} + \frac{Q \cdot R_2}{U^2}$

Заметим, что $\frac{Q \cdot R_1}{U^2} = t_1$ (время работы первого элемента), а $\frac{Q \cdot R_2}{U^2} = t_2$ (искомое время работы второго элемента). Следовательно, мы получаем простое соотношение:

$t_{посл} = t_1 + t_2$

Подставим известные значения и найдем $t_2$:

$36 \text{ мин} = 12 \text{ мин} + t_2$

$t_2 = 36 \text{ мин} - 12 \text{ мин} = 24 \text{ мин}$

Ответ: чтобы довести воду до кипения, включив только второй нагревательный элемент, понадобится 24 минуты.

б)

При параллельном соединении общая мощность равна сумме мощностей отдельных элементов: $P_{пар} = P_1 + P_2$.

Так как мощность обратно пропорциональна времени нагрева ($P = Q/t$), мы можем переписать это уравнение в терминах времени:

$\frac{Q}{t_{пар}} = \frac{Q}{t_1} + \frac{Q}{t_2}$

Сократив $\text{Q}$ (так как $Q \neq 0$), получим:

$\frac{1}{t_{пар}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$

Выразим $t_{пар}$:

$t_{пар} = \frac{t_1 \cdot t_2}{t_1 + t_2}$

Теперь подставим известные значения $t_1 = 12$ мин и найденное в пункте а) значение $t_2 = 24$ мин:

$t_{пар} = \frac{12 \cdot 24}{12 + 24} = \frac{288}{36} = 8 \text{ мин}$

Ответ: чтобы довести воду до кипения, включив нагревательные элементы параллельно, понадобится 8 минут.