Номер 3, страница 184, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Глава III. Электрические явления. Параграф 18. Закон Ома для участка цепи. Удельное сопротивление вещества - номер 3, страница 184.

Условие.

3. Имеется два провода одинаковой длины и одинакового сопротивления. Один провод медный, а другой — алюминиевый. Масса какого провода больше? Во сколько раз?

Решение.

Дано:

$l_{Cu} = l_{Al} = l$

$R_{Cu} = R_{Al} = R$

Провод 1 — медный (Cu)

Провод 2 — алюминиевый (Al)

Удельное сопротивление меди $\rho_{Cu} = 1.7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м

Плотность меди $d_{Cu} = 8900$ кг/м³

Удельное сопротивление алюминия $\rho_{Al} = 2.8 \cdot 10^{-8}$ Ом·м

Плотность алюминия $d_{Al} = 2700$ кг/м³

Найти:

$\frac{m_{Cu}}{m_{Al}}$ - ?

Решение:

Запишем формулу для сопротивления проводника:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{l}$ — длина провода, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения.

Поскольку по условию задачи сопротивления и длины проводов одинаковы ($R_{Cu} = R_{Al}$ и $l_{Cu} = l_{Al}$), мы можем приравнять выражения для их сопротивлений:

$\rho_{Cu} \frac{l}{S_{Cu}} = \rho_{Al} \frac{l}{S_{Al}}$

Отсюда можно найти соотношение площадей поперечного сечения:

$\frac{S_{Al}}{S_{Cu}} = \frac{\rho_{Al}}{\rho_{Cu}}$

Масса провода вычисляется по формуле $m = d \cdot V$, где $\text{d}$ — плотность материала, а $\text{V}$ — объем провода. Объем провода, имеющего форму цилиндра, равен $V = S \cdot l$.

Тогда масса медного провода: $m_{Cu} = d_{Cu} \cdot S_{Cu} \cdot l$

Масса алюминиевого провода: $m_{Al} = d_{Al} \cdot S_{Al} \cdot l$

Чтобы найти, масса какого провода больше и во сколько раз, найдем отношение их масс:

$\frac{m_{Cu}}{m_{Al}} = \frac{d_{Cu} \cdot S_{Cu} \cdot l}{d_{Al} \cdot S_{Al} \cdot l} = \frac{d_{Cu}}{d_{Al}} \cdot \frac{S_{Cu}}{S_{Al}}$

Из ранее найденного соотношения площадей мы знаем, что $\frac{S_{Cu}}{S_{Al}} = \frac{\rho_{Cu}}{\rho_{Al}}$. Подставим это в формулу для отношения масс:

$\frac{m_{Cu}}{m_{Al}} = \frac{d_{Cu}}{d_{Al}} \cdot \frac{\rho_{Al}}{\rho_{Cu}}$

Теперь подставим числовые значения физических величин:

$\frac{m_{Cu}}{m_{Al}} = \frac{8900 \frac{кг}{м^3}}{2700 \frac{кг}{м^3}} \cdot \frac{2.8 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м}{1.7 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м} = \frac{8900}{2700} \cdot \frac{2.8}{1.7} \approx 3.3 \cdot 1.65 \approx 5.4$

Проведем решение другим способом. Выразим площадь сечения $\text{S}$ из формулы сопротивления: $S = \frac{\rho l}{R}$.

Подставим это выражение в формулу массы $m = d \cdot S \cdot l = d \cdot (\frac{\rho l}{R}) \cdot l = \frac{d \cdot \rho \cdot l^2}{R}$.

Запишем отношение масс:

$\frac{m_{Cu}}{m_{Al}} = \frac{\frac{d_{Cu} \cdot \rho_{Cu} \cdot l^2}{R}}{\frac{d_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot l^2}{R}} = \frac{d_{Cu} \cdot \rho_{Cu}}{d_{Al} \cdot \rho_{Al}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{m_{Cu}}{m_{Al}} = \frac{8900 \frac{кг}{м^3} \cdot 1.7 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м}{2700 \frac{кг}{м^3} \cdot 2.8 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м} = \frac{8900 \cdot 1.7}{2700 \cdot 2.8} = \frac{15130}{7560} \approx 2$

Поскольку отношение $\frac{m_{Cu}}{m_{Al}} \approx 2$, что больше единицы, масса медного провода больше.

Ответ: Масса медного провода больше. Масса медного провода больше массы алюминиевого примерно в 2 раза.