Номер 1, страница 183, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Глава III. Электрические явления. Параграф 18. Закон Ома для участка цепи. Удельное сопротивление вещества - номер 1, страница 183.

Условие.

1. Ученик измерил массу мотка медной проволоки, покрытой тонким слоем изоляции, а затем измерил сопротивление этой проволоки. Он получил следующие результаты: $m = 1 \text{ кг}$, $R = 1 \text{ Ом}$. Чему равны длина проволоки $\text{l}$ и площадь её по-перечного сечения $\text{S}$?

Решение.

Дано:

Масса медной проволоки, $m = 1 \, \text{кг}$
Сопротивление проволоки, $R = 1 \, \text{Ом}$
Материал проволоки - медь.

Для решения задачи потребуются справочные данные для меди (примем стандартные значения):
Плотность меди, $\rho = 8900 \, \text{кг/м}^3$
Удельное электрическое сопротивление меди, $\rho_e = 1.7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Длину проволоки, $\text{l}$ - ?
Площадь поперечного сечения, $\text{S}$ - ?

Решение:

В задаче указано, что проволока покрыта тонким слоем изоляции. Будем считать, что масса и объем изоляции пренебрежимо малы по сравнению с массой и объемом медной проволоки.

Для решения задачи используем две формулы:
1. Формула сопротивления проводника:
$R = \rho_e \frac{l}{S}$ (1)
2. Формула массы тела через его плотность и объем:
$m = \rho V$
Объем проволоки, имеющей форму цилиндра, равен произведению площади ее поперечного сечения $\text{S}$ на длину $\text{l}$: $V = S \cdot l$.
Следовательно, масса проволоки:
$m = \rho S l$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $\text{l}$ и $\text{S}$:
$\begin{cases} R = \rho_e \frac{l}{S} \\ m = \rho S l \end{cases}$

Выразим площадь поперечного сечения $\text{S}$ из второго уравнения:
$S = \frac{m}{\rho l}$

Теперь подставим это выражение для $\text{S}$ в первое уравнение:
$R = \rho_e \frac{l}{\frac{m}{\rho l}} = \frac{\rho_e \rho l^2}{m}$

Из полученного соотношения выразим длину проволоки $\text{l}$:
$l^2 = \frac{m R}{\rho_e \rho}$
$l = \sqrt{\frac{m R}{\rho_e \rho}}$

Подставим числовые значения и вычислим длину:
$l = \sqrt{\frac{1 \, \text{кг} \cdot 1 \, \text{Ом}}{(1.7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}) \cdot (8900 \, \text{кг/м}^3)}} = \sqrt{\frac{1}{1.513 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^{-2}}} \approx \sqrt{6609.4 \, \text{м}^2} \approx 81.3 \, \text{м}$

Теперь, зная длину $\text{l}$, найдем площадь поперечного сечения $\text{S}$ из формулы $S = \frac{m}{\rho l}$:
$S = \frac{1 \, \text{кг}}{8900 \, \text{кг/м}^3 \cdot 81.3 \, \text{м}} \approx \frac{1}{723570} \, \text{м}^2 \approx 1.38 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2$

Площадь поперечного сечения также можно выразить в квадратных миллиметрах, для чего нужно умножить результат на $10^6$:
$S \approx 1.38 \cdot 10^{-6} \cdot 10^6 \, \text{мм}^2 = 1.38 \, \text{мм}^2$

Ответ: длина проволоки $l \approx 81.3$ м, площадь её поперечного сечения $S \approx 1.38 \cdot 10^{-6}$ м² (или $1.38$ мм²).