Номер 1, страница 185, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Олимпиадные задачи. Глава III. Электрические явления. Параграф 21. Работа и мощность электрического тока - номер 1, страница 185.

Условие.

1. Нагревательный элемент изготовлен из никелиновой проволоки диаметром $0,2 \text{ мм}$, намотанной на фарфоровый цилиндр диаметром $1,5 \text{ см}$. За $10 \text{ мин}$ $2 \text{ л}$ воды с начальной температурой $20 \text{ °С}$ нагреваются до температуры кипения. Напряжение в сети $220 \text{ В}$, КПД нагревателя $60 \, \%$. Из скольких витков проволоки состоит нагревательный элемент? Удельное сопротивление никелина $42 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Решение.

Дано:

Диаметр никелиновой проволоки $d_п = 0,2$ мм

Диаметр фарфорового цилиндра $D_ц = 1,5$ см

Время нагрева $t = 10$ мин

Объем воды $V = 2$ л

Начальная температура воды $T_1 = 20$ °C

Конечная температура воды $T_2 = 100$ °C (температура кипения)

Напряжение в сети $U = 220$ В

КПД нагревателя $\eta = 60$ %

Удельное сопротивление никелина $\rho = 42 \cdot 10^{-8}$ Ом · м

Удельная теплоемкость воды (справочное значение) $c = 4200$ Дж/(кг·°C)

Плотность воды (справочное значение) $\rho_{воды} = 1000$ кг/м³

$d_п = 0,2 \text{ мм} = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$D_ц = 1,5 \text{ см} = 1,5 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$t = 10 \text{ мин} = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$

$V = 2 \text{ л} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$\eta = 60\% = 0,6$

Найти:

Число витков проволоки $\text{N}$.

Решение:

1. Определим количество теплоты ($Q_{полезн}$), которое необходимо для нагрева воды от начальной температуры до температуры кипения. Для этого сначала найдем массу воды $\text{m}$:

$m = V \cdot \rho_{воды} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 2 \text{ кг}$

Теперь рассчитаем необходимое количество теплоты:

$Q_{полезн} = c \cdot m \cdot (T_2 - T_1) = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (100\text{°C} - 20\text{°C}) = 4200 \cdot 2 \cdot 80 = 672000 \text{ Дж}$

2. Учитывая КПД нагревателя, найдем полную работу $W_{эл}$, совершенную электрическим током (затраченную энергию):

$\eta = \frac{Q_{полезн}}{W_{эл}}$

$W_{эл} = \frac{Q_{полезн}}{\eta} = \frac{672000 \text{ Дж}}{0,6} = 1120000 \text{ Дж}$

3. Работа электрического тока также определяется по формуле $W_{эл} = \frac{U^2}{R} \cdot t$. Из этой формулы выразим и найдем сопротивление $\text{R}$ нагревательного элемента:

$R = \frac{U^2 \cdot t}{W_{эл}} = \frac{(220 \text{ В})^2 \cdot 600 \text{ с}}{1120000 \text{ Дж}} = \frac{48400 \cdot 600}{1120000} \text{ Ом} \approx 25,93 \text{ Ом}$

4. Сопротивление проводника связано с его геометрическими параметрами и удельным сопротивлением материала по формуле $R = \rho \frac{L}{S}$, где $\text{L}$ – длина проволоки, а $\text{S}$ – площадь ее поперечного сечения.

Найдем площадь поперечного сечения $\text{S}$ проволоки:

$S = \frac{\pi d_п^2}{4} = \frac{\pi \cdot (0,2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,04 \cdot 10^{-6}}{4} \text{ м}^2 = \pi \cdot 10^{-8} \text{ м}^2 \approx 3,14 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2$

5. Теперь из формулы сопротивления найдем общую длину $\text{L}$ никелиновой проволоки:

$L = \frac{R \cdot S}{\rho} = \frac{25,93 \text{ Ом} \cdot \pi \cdot 10^{-8} \text{ м}^2}{42 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{25,93 \cdot \pi}{42} \text{ м} \approx 1,94 \text{ м}$

6. Длина одного витка проволоки $L_1$ равна длине окружности фарфорового цилиндра, на который она намотана:

$L_1 = \pi D_ц = \pi \cdot 1,5 \cdot 10^{-2} \text{ м} \approx 0,0471 \text{ м}$

7. Чтобы найти общее число витков $\text{N}$, разделим общую длину проволоки на длину одного витка:

$N = \frac{L}{L_1} = \frac{1,94 \text{ м}}{0,0471 \text{ м}} \approx 41,19$

Поскольку число витков должно быть целым, округляем полученное значение.

Ответ: нагревательный элемент состоит из 41 витка проволоки.