Номер 6, страница 9, часть 1 - гдз по физике 8 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 1. Глава 1. Молекулярная теория строения вещества. Параграф 3. Примеры решения задач - номер 6, страница 9.

Условие.

6*. Бак с водородом космического аппарата имеет объём $250 \text{ см}^3$. Плотность водорода в баке равна $1 \text{ г}/\text{см}^3$. В стенке этого бака образовалась микротрещина. Считайте, что каждую секунду через микротрещину вылетает в космос 10 миллионов молекул водорода. Через какое время число молекул водорода в баке уменьшится на 10 %? Через какое время плотность водорода в баке уменьшится вдвое?

Ответ: ________.

Решение.

Дано:

Объём бака, $V = 250 \text{ см}^3$

Начальная плотность водорода, $\rho_0 = 1 \text{ г/см}^3$

Скорость утечки молекул, $R = 10 \cdot 10^6 \text{ молекул/с} = 10^7 \text{ с}^{-1}$

Молярная масса водорода (H₂), $M = 2 \text{ г/моль}$

Число Авогадро, $N_A \approx 6.02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$V = 250 \text{ см}^3 = 250 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 2.5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

$\rho_0 = 1 \text{ г/см}^3 = \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 1000 \text{ кг/м}^3$

$M = 2 \text{ г/моль} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

$t_1$ — время, через которое число молекул уменьшится на 10%.

$t_2$ — время, через которое плотность уменьшится вдвое.

Решение:

1. Сначала найдём начальное количество молекул водорода $N_0$ в баке.

Начальная масса водорода в баке вычисляется по формуле $m_0 = \rho_0 \cdot V$.

$m_0 = 1 \text{ г/см}^3 \cdot 250 \text{ см}^3 = 250 \text{ г}$

Найдём количество вещества (в молях) по формуле $\nu = \frac{m_0}{M}$.

$\nu = \frac{250 \text{ г}}{2 \text{ г/моль}} = 125 \text{ моль}$

Теперь можем найти начальное число молекул $N_0$, используя число Авогадро $N_A$.

$N_0 = \nu \cdot N_A = 125 \text{ моль} \cdot 6.02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 752.5 \cdot 10^{23} = 7.525 \cdot 10^{25} \text{ молекул}$

Через какое время число молекул водорода в баке уменьшится на 10 %?

Уменьшение числа молекул на 10% означает, что из бака должно вылететь количество молекул $\Delta N_1$, равное 10% от начального числа:

$\Delta N_1 = 0.1 \cdot N_0 = 0.1 \cdot 7.525 \cdot 10^{25} = 7.525 \cdot 10^{24} \text{ молекул}$

Время $t_1$, необходимое для этого, равно отношению числа вылетевших молекул к скорости утечки $\text{R}$:

$t_1 = \frac{\Delta N_1}{R} = \frac{7.525 \cdot 10^{24}}{10^7 \text{ с}^{-1}} = 7.525 \cdot 10^{17} \text{ с}$

Ответ: $7.525 \cdot 10^{17}$ с.

Через какое время плотность водорода в баке уменьшится вдвое?

Плотность связана с массой и объёмом формулой $\rho = \frac{m}{V}$. Поскольку объём бака $\text{V}$ постоянен, уменьшение плотности вдвое эквивалентно уменьшению массы водорода вдвое. В свою очередь, уменьшение массы вдвое означает, что и число молекул должно уменьшиться вдвое.

Таким образом, из бака должна вылететь половина всех молекул:

$\Delta N_2 = \frac{N_0}{2} = \frac{7.525 \cdot 10^{25}}{2} = 3.7625 \cdot 10^{25} \text{ молекул}$

Время $t_2$, необходимое для этого:

$t_2 = \frac{\Delta N_2}{R} = \frac{3.7625 \cdot 10^{25}}{10^7 \text{ с}^{-1}} = 3.7625 \cdot 10^{18} \text{ с}$

Ответ: $3.7625 \cdot 10^{18}$ с.