Теоретическое исследование, страница 159 - гдз по физике 8 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 9. Электрический ток в металлах. Закон Ома для участка электрической цепи. Параграф 44. Параллельное соединение проводников. Вопросы - страница 159.

Условие.

Теоретическое исследование

Два резистора сопротивлениями $R_1 = 10 \text{ Ом}$ и $R_2 = 20 \text{ Ом}$ включены в электрическую цепь параллельно.

Объясните, почему их общее сопротивление меньше сопротивления каждого из резисторов.

Решение.

Дано:

Сопротивление первого резистора: $R_1 = 10$ Ом

Сопротивление второго резистора: $R_2 = 20$ Ом

Тип соединения: параллельное

Найти:

Объяснить, почему общее сопротивление $R_{общ}$ меньше сопротивления каждого из резисторов ($R_{общ} < R_1$ и $R_{общ} < R_2$).

Решение:

При параллельном соединении резисторов создается несколько путей для прохождения электрического тока. Это можно сравнить с расширением русла реки: чем шире русло (чем больше путей), тем легче воде течь, то есть общее сопротивление потоку уменьшается. Аналогично, добавление параллельной ветви в электрическую цепь облегчает прохождение тока, что означает уменьшение общего сопротивления.

Рассмотрим это с точки зрения законов электротехники.

1. При параллельном соединении напряжение на концах всех ветвей одинаково: $U_{общ} = U_1 = U_2 = U$.

2. Общая сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов в отдельных параллельных ветвях (согласно первому правилу Кирхгофа): $I_{общ} = I_1 + I_2$.

Согласно закону Ома для участка цепи, сила тока $I = U/R$. Подставим это выражение в уравнение для сил токов:

$\frac{U}{R_{общ}} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$

Поскольку напряжение $\text{U}$ одинаково для всех элементов и не равно нулю, мы можем сократить его:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Эта формула показывает, что величина, обратная общему сопротивлению (которая называется общей проводимостью), равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждой ветви (сумме их проводимостей). Поскольку сопротивления $R_1$ и $R_2$ — положительные величины, то $\frac{1}{R_1} > 0$ и $\frac{1}{R_2} > 0$.

Следовательно, сумма $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ будет больше каждого из слагаемых:

$\frac{1}{R_{общ}} > \frac{1}{R_1}$ и $\frac{1}{R_{общ}} > \frac{1}{R_2}$

Если перевернуть дроби в этих неравенствах, то знак неравенства изменится на противоположный:

$R_{общ} < R_1$ и $R_{общ} < R_2$

Это доказывает, что общее сопротивление при параллельном соединении всегда меньше наименьшего из сопротивлений, включенных в цепь.

Выполним расчет для заданных значений:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{10 \text{ Ом}} + \frac{1}{20 \text{ Ом}} = \frac{2+1}{20 \text{ Ом}} = \frac{3}{20 \text{ Ом}}$

Отсюда находим общее сопротивление:

$R_{общ} = \frac{20}{3}$ Ом $\approx 6.67$ Ом

Сравнивая результат с исходными данными, видим, что:

$6.67$ Ом < $10$ Ом

$6.67$ Ом < $20$ Ом

Расчет подтверждает теоретический вывод.

Ответ:

Общее сопротивление при параллельном соединении резисторов меньше сопротивления каждого из них, так как ток разветвляется, получая дополнительные пути для прохождения. Это приводит к увеличению общей проводимости цепи (величина, обратная сопротивлению), которая равна сумме проводимостей каждой ветви. Увеличение общей проводимости эквивалентно уменьшению общего сопротивления. Для данных резисторов общее сопротивление $R_{общ} \approx 6.67$ Ом, что меньше как $R_1 = 10$ Ом, так и $R_2 = 20$ Ом.