Номер 20.1, страница 123 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 20. Волновая оптика - номер 20.1, страница 123.

Условие.

20.1. Опыт Физо по измерению скорости света. Световой пучок проходит через узкую прорезь между зубцами вращающегося колеса (число зубцов $N = 720$), отражается от зеркала, расположенного на расстоянии $l = 8,7$ км от колеса, и возвращается к наблюдателю, опять проходя между зубцами колеса. При какой минимальной частоте $\text{n}$ вращения колеса отраженный свет не будет виден наблюдателю?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Число зубцов колеса, $N = 720$.
Расстояние до зеркала, $l = 8,7 \text{ км}$.
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.

Перевод в систему СИ:

$l = 8,7 \text{ км} = 8,7 \cdot 10^3 \text{ м}$.

Найти:

Минимальную частоту вращения колеса $\text{n}$, при которой отраженный свет не будет виден наблюдателю.

Решение:

Свет от источника проходит через прорезь между зубцами, отражается от зеркала и возвращается обратно к колесу. Общее расстояние, которое преодолевает световой пучок, равно удвоенному расстоянию до зеркала:$S = 2l$

Время, которое требуется свету, чтобы пройти этот путь, определяется по формуле:$t = \frac{S}{c} = \frac{2l}{c}$

Для того чтобы отраженный свет не был виден наблюдателю, за время $\text{t}$ полета света колесо должно повернуться на такой угол, чтобы на месте прорези, через которую свет прошел изначально, оказался зубец.

Колесо имеет $\text{N}$ зубцов. Будем считать, что ширина зубца равна ширине прорези между зубцами. Тогда по всей окружности колеса расположено $\text{N}$ зубцов и $\text{N}$ прорезей, то есть $\text{2N}$ равных по угловой ширине секторов.

Полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Угловая ширина одного сектора (зубца или прорези) равна:$\Delta\phi = \frac{2\pi}{2N} = \frac{\pi}{N}$

Минимальный угол поворота, при котором прорезь сменится соседним с ней зубцом, как раз равен $\Delta\phi$. Таким образом, за время $\text{t}$ колесо должно повернуться на угол $\phi = \Delta\phi$.$\phi = \frac{\pi}{N}$

Угол поворота $\phi$ также связан с угловой скоростью вращения $\omega$ и временем $\text{t}$ соотношением $\phi = \omega t$. Угловая скорость, в свою очередь, выражается через частоту вращения $\text{n}$ (в оборотах в секунду, или Гц) как $\omega = 2\pi n$.

Приравняем два выражения для времени: время полета света $\text{t}$ и время поворота колеса на угол $\phi$.$t_{света} = t_{поворота}$
$\frac{2l}{c} = \frac{\phi}{\omega} = \frac{\pi/N}{2\pi n} = \frac{1}{2Nn}$

Из этого соотношения выразим минимальную частоту вращения $\text{n}$:$\frac{2l}{c} = \frac{1}{2Nn}$
$4Nnl = c$
$n = \frac{c}{4Nl}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:$n = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{4 \cdot 720 \cdot 8,7 \cdot 10^3 \text{ м}} = \frac{3 \cdot 10^8}{2880 \cdot 8700} = \frac{3 \cdot 10^8}{25056000} \approx 11,97 \text{ Гц}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью задания расстояния $\text{l}$), получаем $n \approx 12 \text{ Гц}$.

Ответ: Минимальная частота вращения колеса, при которой отраженный свет не будет виден наблюдателю, составляет приблизительно $12 \text{ Гц}$.