Номер 19.59, страница 123 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.59, страница 123.

Условие.

19.59**. Фокусное расстояние объектива микроскопа $F_1 = 3,5 \text{ мм}$, а увеличение микроскопа $\Gamma = 100$. Найдите фокусное расстояние $F_2$ окуляра, если он расположен на расстоянии $l = 12,4 \text{ см}$ от объектива.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$F_1 = 3,5 \text{ мм}$
$\Gamma = 100$
$l = 12,4 \text{ см}$

$F_1 = 3,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$l = 0,124 \text{ м}$

Найти:

$F_2$

Решение:

Общее угловое увеличение микроскопа $\Gamma$ равно произведению линейного увеличения объектива $\Gamma_1$ на угловое увеличение окуляра $\Gamma_2$:

$\Gamma = \Gamma_1 \cdot \Gamma_2$

Для стандартной настройки микроскопа, когда окончательное изображение формируется на бесконечности (что соответствует наблюдению без напряжения зрения), промежуточное изображение, создаваемое объективом, должно находиться в передней фокальной плоскости окуляра. Увеличение окуляра в этом случае определяется формулой:

$\Gamma_2 = \frac{L}{F_2}$

где $\text{L}$ — расстояние наилучшего зрения, которое стандартно принимается равным $25 \text{ см}$ ($0,25 \text{ м}$).

Расстояние между объективом и окуляром $\text{l}$ складывается из расстояния от объектива до промежуточного изображения, $f_1$, и фокусного расстояния окуляра, $F_2$:

$l = f_1 + F_2$

Отсюда можно выразить расстояние до промежуточного изображения:

$f_1 = l - F_2$

Линейное увеличение объектива $\Gamma_1$ связано с его фокусным расстоянием $F_1$ и расстоянием до изображения $f_1$ следующей формулой, которая выводится из формулы тонкой линзы:

$\Gamma_1 = \frac{f_1 - F_1}{F_1}$

Подставим все полученные выражения в формулу для общего увеличения микроскопа:

$\Gamma = \Gamma_1 \cdot \Gamma_2 = \left( \frac{f_1 - F_1}{F_1} \right) \cdot \left( \frac{L}{F_2} \right)$

Теперь заменим $f_1$ на $l - F_2$:

$\Gamma = \frac{(l - F_2) - F_1}{F_1} \cdot \frac{L}{F_2} = \frac{l - F_1 - F_2}{F_1} \cdot \frac{L}{F_2}$

Из этого уравнения необходимо выразить искомое фокусное расстояние окуляра $F_2$:

$\Gamma \cdot F_1 \cdot F_2 = L \cdot (l - F_1 - F_2)$

$\Gamma F_1 F_2 = L(l - F_1) - L F_2$

$\Gamma F_1 F_2 + L F_2 = L(l - F_1)$

$F_2 (\Gamma F_1 + L) = L(l - F_1)$

$F_2 = \frac{L(l - F_1)}{\Gamma F_1 + L}$

Проведем вычисления, используя значения в сантиметрах для удобства:

$F_1 = 3,5 \text{ мм} = 0,35 \text{ см}$

$l = 12,4 \text{ см}$

$L = 25 \text{ см}$

Подставим числовые значения:

$F_2 = \frac{25 \cdot (12,4 - 0,35)}{100 \cdot 0,35 + 25} = \frac{25 \cdot 12,05}{35 + 25} = \frac{301,25}{60} \approx 5,02 \text{ см}$

Ответ: фокусное расстояние окуляра $F_2 \approx 5,02 \text{ см}$.