Задача 34.1, страница 151 - гдз по физике 8 класс учебник Кабардин

Задача 34.1. Докажите, что отношение размеров изображения, даваемого линзой, к размерам предмета равно отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от линзы до предмета.

Дано:

H — размер (высота) изображения

h — размер (высота) предмета

f — расстояние от линзы до изображения

d — расстояние от линзы до предмета

Найти:

Доказать, что $ \frac{H}{h} = \frac{f}{d} $.

Решение:

Для доказательства воспользуемся геометрическим построением изображения, даваемого тонкой линзой. Для наглядности рассмотрим случай собирающей линзы, создающей действительное перевернутое изображение. Доказательство для других случаев (мнимое изображение, рассеивающая линза) будет аналогичным.

Пусть предмет $\text{AB}$ высотой $\text{h}$ расположен перпендикулярно главной оптической оси на расстоянии $\text{d}$ от оптического центра линзы (точка $\text{O}$). Линза создает его изображение $A'B'$ высотой $\text{H}$ на расстоянии $\text{f}$ от оптического центра $\text{O}$.

Для построения и анализа геометрии задачи рассмотрим луч, исходящий из верхней точки предмета $\text{B}$ и проходящий через оптический центр линзы $\text{O}$. Согласно законам геометрической оптики, такой луч не претерпевает преломления и распространяется прямолинейно. Он пройдет через соответствующую точку изображения $B'$.

При этом образуются два треугольника: $ \Delta ABO $ и $ \Delta A'B'O $.

Эти треугольники подобны. Докажем это, найдя две пары равных углов:

1. Углы $ \angle OAB $ и $ \angle OA'B' $ являются прямыми ($90^\circ$), так как по определению предмет и его изображение в данном построении перпендикулярны главной оптической оси.

2. Углы $ \angle AOB $ и $ \angle A'OB' $ являются вертикальными, следовательно, они равны.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $ \Delta ABO $ и $ \Delta A'B'O $ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон. Отношение катетов, противолежащих равным углам (вертикальным), равно отношению катетов, прилежащих к этим углам:

$ \frac{A'B'}{AB} = \frac{OA'}{OA} $

Подставим в это соотношение принятые обозначения:

$A'B' = H$ (высота изображения)

$AB = h$ (высота предмета)

$OA' = f$ (расстояние до изображения)

$OA = d$ (расстояние до предмета)

Таким образом, мы получаем искомое выражение:

$ \frac{H}{h} = \frac{f}{d} $

Это отношение называется линейным (или поперечным) увеличением линзы и обозначается буквой $ \Gamma $ (Гамма). Оно показывает, во сколько раз размер изображения больше или меньше размера самого предмета. Что и требовалось доказать.

Ответ:

На основе подобия треугольников ($ \Delta ABO \sim \Delta A'B'O $), образованных предметом, его изображением и лучом, проходящим через оптический центр линзы, доказано, что отношение размера изображения к размеру предмета равно отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от линзы до предмета: $ \frac{H}{h} = \frac{f}{d} $.