Задача 34.3, страница 152 - гдз по физике 8 класс учебник Кабардин

Задача 34.3. Докажите, что между расстоянием $\text{d}$ от предмета до линзы, фокусным расстоянием $\text{F}$ линзы и расстоянием $\text{f}$ от линзы до изображения предмета существует связь, выраженная формулой $df = Ff + Fd. \quad (1)$

Для получения этой формулы можете использовать схему (рис. 34.14). На этой схеме представлен ход лучей через собирающую линзу с фокусным расстоянием $\text{F}$ при расположении предмета высотой $\text{a}$ на расстоянии $\text{d}$ от линзы с получением изображения высотой $\text{b}$ на расстоянии $\text{f}$ от линзы.

Получите из формулы (1) формулу $\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{d}$, называемую формулой тонкой линзы.

Если при использовании этой формулы вычисленное значение расстояния $\text{f}$ получается отрицательным, то это значит, что изображение мнимое. При использовании формулы линзы для рассеивающей линзы значение фокусного расстояния следует брать со знаком «минус».

Рис. 34.14

Докажите, что между расстоянием d от предмета до линзы, фокусным расстоянием F линзы и расстоянием f от линзы до изображения предмета существует связь, выраженная формулой df = Ff + Fd.

Решение:

Для доказательства этой формулы воспользуемся схемой хода лучей в собирающей линзе (рис. 34.14) и методом подобных треугольников.

Рассмотрим первую пару подобных треугольников. Треугольник, образованный предметом (высота $\text{a}$), расстоянием до линзы ($\text{d}$) и главной оптической осью, подобен треугольнику, образованному изображением (высота $\text{b}$), расстоянием от линзы ($\text{f}$) и главной оптической осью. Эти треугольники подобны по двум углам (прямые углы у основания предмета/изображения и вертикальные углы, образованные лучом, проходящим через оптический центр линзы). Из подобия следует соотношение:

$\frac{a}{d} = \frac{b}{f}$

Отсюда выразим отношение высот предмета и изображения:

$\frac{a}{b} = \frac{d}{f}$ (1)

Теперь рассмотрим вторую пару подобных треугольников. Один треугольник образован фокусным расстоянием $\text{F}$ и высотой $\text{a}$ (в плоскости линзы). Второй треугольник образован расстоянием $(f - F)$ и высотой изображения $\text{b}$. Эти треугольники подобны по двум углам (прямые углы и вертикальные углы у фокуса F, образованные лучом, прошедшим через фокус). Из подобия этих треугольников следует:

$\frac{a}{F} = \frac{b}{f-F}$

Из этого соотношения также выразим отношение высот:

$\frac{a}{b} = \frac{F}{f-F}$ (2)

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем:

$\frac{d}{f} = \frac{F}{f-F}$

Применим правило пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$d \cdot (f-F) = f \cdot F$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$df - dF = fF$

Перенесем член $-dF$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$df = Ff + Fd$

Таким образом, требуемая формула доказана.

Ответ: Формула $df = Ff + Fd$ была доказана на основе рассмотрения двух пар подобных треугольников, которые образуются при построении хода лучей в собирающей линзе.

Получите из формулы (1) формулу $\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{d}$, называемую формулой тонкой линзы.

Дано:

Исходная формула: $df = Ff + Fd$

Найти:

Получить формулу тонкой линзы: $\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{d}$

Решение:

Начнем с данной формулы:

$df = Ff + Fd$

В правой части можно вынести $\text{F}$ за скобки, но для получения искомой формы удобнее разделить обе части равенства на произведение $d \cdot f \cdot F$. Мы можем это сделать, предполагая, что $d \neq 0$, $f \neq 0$ и $F \neq 0$.

$\frac{df}{dfF} = \frac{Ff}{dfF} + \frac{Fd}{dfF}$

Теперь сократим дроби в каждом члене уравнения:

В левой части $\frac{df}{dfF}$ сокращается до $\frac{1}{F}$.

В первом слагаемом правой части $\frac{Ff}{dfF}$ сокращается до $\frac{1}{d}$.

Во втором слагаемом правой части $\frac{Fd}{dfF}$ сокращается до $\frac{1}{f}$.

В результате получаем:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Это и есть формула тонкой линзы, которую требовалось получить.

Ответ: Формула тонкой линзы $\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{d}$ получена из формулы $df = Ff + Fd$ путем деления всех ее членов на произведение $dfF$.