Номер 12, страница 199 - гдз по физике 8 класс учебник Кронгарт, Насохова

12. При переходе солнечных лучей из воздуха в стекло угол падения $60^\circ$, а угол преломления $30^\circ$. Найдите скорость распространения света в стекле и предельный угол полного внутреннего отражения.

(Ответ: $1.73 \cdot 10^8 \text{ м/с}$; $35^\circ$)

Дано:

Угол падения, $\alpha = 60^{\circ}$
Угол преломления, $\beta = 30^{\circ}$
Среда 1: воздух (показатель преломления $n_1 \approx 1$)
Среда 2: стекло
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Скорость распространения света в стекле, $v$ — ?
Предельный угол полного внутреннего отражения, $\alpha_{пр}$ — ?

Решение:

Скорость распространения света в стекле

Для нахождения скорости света в стекле воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса). Он связывает углы падения и преломления со скоростями света в средах:
$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{v_1}{v_2}$
В данном случае свет переходит из воздуха (среда 1) в стекло (среда 2), поэтому скорость в первой среде $v_1$ можно считать равной скорости света в вакууме $c$, а скорость во второй среде $v_2$ — это искомая скорость $v$.
$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{c}{v}$
Выразим из этой формулы скорость света в стекле $v$:
$v = c \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$
Подставим числовые значения: $\alpha = 60^{\circ}$, $\beta = 30^{\circ}$, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с.
$v = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = 3 \cdot 10^8 \cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = 3 \cdot 10^8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \cdot 10^8 \text{ м/с}$
Учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем:
$v \approx 1.73 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: скорость распространения света в стекле составляет примерно $1.73 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.

Предельный угол полного внутреннего отражения

Полное внутреннее отражение наблюдается, когда свет переходит из оптически более плотной среды (стекло) в оптически менее плотную (воздух). Предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$ — это такой угол падения, при котором преломленный луч скользит по границе раздела сред, то есть угол преломления равен $90^{\circ}$.
Запишем закон Снеллиуса для перехода из стекла в воздух:
$n_2 \sin \alpha_{пр} = n_1 \sin 90^{\circ}$
Здесь $n_2$ — показатель преломления стекла, а $n_1$ — показатель преломления воздуха. Так как $n_1 \approx 1$ и $\sin 90^{\circ} = 1$, формула приобретает вид:
$\sin \alpha_{пр} = \frac{1}{n_2}$
Сначала найдем показатель преломления стекла $n_2$ из данных о преломлении при переходе из воздуха в стекло: $n_2 = n_1 \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$.
$n_2 = 1 \cdot \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$
Теперь можем найти синус предельного угла:
$\sin \alpha_{пр} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Отсюда находим предельный угол:
$\alpha_{пр} = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx \arcsin(0.577) \approx 35.26^{\circ}$
Округляя результат до целых, получаем $\alpha_{пр} \approx 35^{\circ}$.

Ответ: предельный угол полного внутреннего отражения составляет примерно $35^{\circ}$.