Практическое задание, страница 203 - гдз по физике 8 класс учебник Кронгарт, Насохова

Вывести формулу тонкой линзы можно и другим способом. Предложите свои способы вывода формулы тонкой линзы, аргументируя свои действия.

Формулу тонкой линзы, связывающую расстояние от предмета до линзы $d$, расстояние от линзы до изображения $f'$ и фокусное расстояние линзы $F$, можно вывести несколькими способами, отличными от традиционного геометрического построения. Ниже представлены два таких способа.

Способ 1: Вывод с использованием волновой оптики (принципа Гюйгенса-Френеля)

Этот метод рассматривает линзу как оптический элемент, который изменяет фазу проходящей через нее световой волны. Точечный источник света испускает сферическую волну. Задача линзы — преобразовать эту расходящуюся сферическую волну в другую, сходящуюся, которая и формирует изображение. В рамках параксиального приближения (когда лучи распространяются под малыми углами к оптической оси) это преобразование фазы можно описать математически.

Решение

Рассмотрим точечный источник света $S$, расположенный на главной оптической оси на расстоянии $d$ от тонкой собирающей линзы. Линза находится в плоскости $z=0$.

1. Сферическая волна, испущенная источником $S$, достигает плоскости линзы. В параксиальном приближении фронт этой волны можно считать параболическим. Фаза волны в точке на линзе с координатой $y$ (расстояние от оптической оси) относительно фазы в центре линзы ($y=0$) будет: $e^{i \phi_{in}(y)} \approx e^{i k \frac{y^2}{2d}}$ где $k = 2\pi/\lambda$ — волновое число.

2. Тонкая линза вносит дополнительный сдвиг фазы, который зависит от ее толщины $t(y)$ на высоте $y$ и показателя преломления $n$. Этот фазовый сдвиг, по сравнению с прохождением той же толщины в воздухе, описывается функцией пропускания линзы $T(y)$. Для линзы с фокусным расстоянием $F$ эта функция имеет вид: $T(y) \approx e^{-i k \frac{y^2}{2F}}$ Знак "минус" в показателе экспоненты соответствует собирающей линзе. Фокусное расстояние $F$ здесь связано с радиусами кривизны поверхностей линзы $R_1$, $R_2$ и показателем преломления $n$ материала линзы (формула мастера-оптика): $1/F = (n-1)(1/R_1 - 1/R_2)$.

3. Волну, прошедшую через линзу, можно описать, умножив фазу падающей волны на функцию пропускания линзы: $\Psi_{out}(y) = e^{i \phi_{in}(y)} \cdot T(y) \approx e^{i k \frac{y^2}{2d}} \cdot e^{-i k \frac{y^2}{2F}} = e^{i k y^2 (\frac{1}{2d} - \frac{1}{2F})}$

4. Если линза формирует действительное изображение в точке $P$ на расстоянии $f'$ от линзы, то прошедшая волна должна быть сферической, сходящейся к этой точке. Фаза такой сходящейся волны в плоскости линзы описывается выражением: $e^{i \phi_{image}(y)} \approx e^{-i k \frac{y^2}{2f'}}$ Знак "минус" указывает на то, что фронт волны является сходящимся (вогнутым).

5. Приравнивая выражения для фазы прошедшей волны $\Psi_{out}(y)$ и фазы волны, формирующей изображение $e^{i \phi_{image}(y)}$, получаем условие формирования изображения: $e^{i k y^2 (\frac{1}{2d} - \frac{1}{2F})} = e^{-i k \frac{y^2}{2f'}}$

Приравниваем показатели экспонент: $i k \frac{y^2}{2} (\frac{1}{d} - \frac{1}{F}) = -i k \frac{y^2}{2f'}$

Сокращая общие множители ($i, k, y^2, 2$), получаем: $\frac{1}{d} - \frac{1}{F} = -\frac{1}{f'}$

Перенося слагаемые, приходим к искомой формуле тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$

Ответ: Формула тонкой линзы $\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$ выведена на основе анализа преобразования фазы световой волны при прохождении через линзу.

Способ 2: Вывод с использованием матричной оптики

Матричная оптика — это метод анализа оптических систем в параксиальном приближении. Луч света в определенной плоскости, перпендикулярной оптической оси, характеризуется вектором, состоящим из его высоты $y$ относительно оси и угла $\alpha$, который он составляет с осью. Каждый оптический элемент (или участок пустого пространства) описывается матрицей 2x2, которая преобразует вектор луча.

Решение

1. Вектор луча. Луч света в плоскости $z$ описывается вектором $\begin{pmatrix} y \\ \alpha \end{pmatrix}$.

2. Матрицы преобразования.

а) Матрица распространения в однородной среде на расстояние $L$. Высота луча изменяется как $y_{out} = y_{in} + L\alpha_{in}$, а угол остается неизменным $\alpha_{out} = \alpha_{in}$. Матрица преобразования (матрица трансляции) имеет вид: $M_{L} = \begin{pmatrix} 1 & L \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

б) Матрица тонкой линзы с фокусным расстоянием $F$. При прохождении через тонкую линзу высота луча не меняется ($y_{out} = y_{in}$), а его угол изменяется на величину $-y/F$. То есть $\alpha_{out} = \alpha_{in} - y_{in}/F$. Матрица для тонкой линзы: $M_{F} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/F & 1 \end{pmatrix}$

3. Матрица системы. Рассмотрим систему, состоящую из предмета на расстоянии $d$ от линзы и изображения на расстоянии $f'$ за ней. Общая матрица системы $M_{total}$ — это произведение матриц ее частей, записанных в порядке, обратном прохождению света: $M_{total} = (\text{трансляция на } f') \cdot (\text{линза}) \cdot (\text{трансляция на } d)$ $M_{total} = M_{f'} \cdot M_{F} \cdot M_{d} = \begin{pmatrix} 1 & f' \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/F & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Выполним умножение матриц:

$M_{F} \cdot M_{d} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/F & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ -1/F & 1-d/F \end{pmatrix}$

$M_{total} = \begin{pmatrix} 1 & f' \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & d \\ -1/F & 1-d/F \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - f'/F & d + f'(1-d/F) \\ -1/F & 1-d/F \end{pmatrix}$

$M_{total} = \begin{pmatrix} 1 - \frac{f'}{F} & d + f' - \frac{df'}{F} \\ -\frac{1}{F} & 1 - \frac{d}{F} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$

4. Условие формирования изображения. Условие формирования изображения заключается в том, что все лучи, вышедшие из одной точки предмета, собираются в одной точке изображения. Рассмотрим точку предмета на оптической оси ($y_{in}=0$). Лучи выходят из нее под разными углами $\alpha_{in}$. Чтобы на расстоянии $f'$ сформировалось изображение также на оси ($y_{out}=0$), выходная высота $y_{out}$ не должна зависеть от начального угла $\alpha_{in}$.

Конечные параметры луча связаны с начальными через матрицу: $\begin{pmatrix} y_{out} \\ \alpha_{out} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{in} \\ \alpha_{in} \end{pmatrix}$

Для нашего случая ($y_{in}=0$): $y_{out} = A \cdot 0 + B \cdot \alpha_{in} = B \cdot \alpha_{in}$

Чтобы $y_{out}=0$ для любого угла $\alpha_{in}$, необходимо, чтобы элемент матрицы $B$ был равен нулю: $B = d + f' - \frac{df'}{F} = 0$

Решим это уравнение: $d + f' = \frac{df'}{F}$

Разделим обе части на произведение $df'$ (при условии, что $d \neq 0$ и $f' \neq 0$): $\frac{d}{df'} + \frac{f'}{df'} = \frac{df'}{df'F}$

$\frac{1}{f'} + \frac{1}{d} = \frac{1}{F}$

Это и есть формула тонкой линзы.

Ответ: Формула тонкой линзы $\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$ выведена с использованием матричного метода на основе условия формирования изображения, которое обнуляет элемент $B$ матрицы преобразования системы.