Номер 9, страница 198 - гдз по физике 8 класс учебник Кронгарт, Насохова

*9. В дно пруда вертикально вбит шест высотой 1,25 м. Найдите длину тени на дне пруда, если солнечные лучи падают на поверхность воды под углом $30^\circ$, а шест целиком находится под водой.

(Ответ: 0,5 м)

Дано:

Высота шеста, $h = 1,25$ м
Угол падения солнечных лучей на поверхность воды, $\alpha = 30°$*
Показатель преломления воздуха, $n_1 = 1$
Показатель преломления воды, $n_2 = 1,33$

*Примечание: в условии задачи сказано, что лучи падают "под углом 30°". В физике это обычно означает угол между падающим лучом и нормалью (перпендикуляром) к поверхности. Мы будем использовать эту стандартную трактовку.

Найти:

Длину тени, $L$.

Решение:

Когда солнечные лучи входят в воду из воздуха, они преломляются. Угол, под которым лучи распространяются в воде, определит длину тени от шеста.

Тень $L$, шест $h$ и преломленный луч света образуют прямоугольный треугольник, где шест является одним катетом, а тень — другим. Угол $\beta$ между преломленным лучом и шестом (который перпендикулярен дну и параллелен нормали к поверхности) является углом преломления.

Из геометрии этого треугольника следует, что тангенс угла преломления связан с высотой шеста и длиной тени:
$\tan\beta = \frac{L}{h}$

Отсюда длину тени можно выразить как:

$L = h \cdot \tan\beta$

Чтобы найти $L$, нам нужно сначала определить угол преломления $\beta$. Для этого воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

где $\alpha$ — угол падения, а $\beta$ — угол преломления.

Выразим синус угла преломления:

$\sin\beta = \frac{n_1}{n_2} \sin\alpha$

Подставим известные значения:

$\sin\beta = \frac{1}{1,33} \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{1,33} \cdot 0,5 \approx 0,3759$

Теперь нам нужно найти $\tan\beta$. Используем тригонометрическое тождество $\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ и $\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta}$ (для углов в первой четверти косинус положителен).

$\cos\beta = \sqrt{1 - (0,3759)^2} \approx \sqrt{1 - 0,1413} = \sqrt{0,8587} \approx 0,9267$

$\tan\beta = \frac{0,3759}{0,9267} \approx 0,4057$

Наконец, вычислим длину тени $L$:

$L = h \cdot \tan\beta = 1,25 \text{ м} \cdot 0,4057 \approx 0,507 \text{ м}$

Полученное значение, округленное до одного знака после запятой, совпадает с ответом, приведенным в условии. Небольшое расхождение связано с округлением значения показателя преломления воды.

Ответ: длина тени на дне пруда составляет приблизительно 0,5 м.