Номер 1, страница 204 - гдз по физике 8 класс учебник Кронгарт, Насохова

1. Воспользуйтесь рисунком 40.9, а, чтобы доказать формулу (40.3).

Рис. 40.9

1. Решение

Для доказательства формулы тонкой линзы воспользуемся построением изображения, представленным на рисунке 40.9, а. Введем обозначения в соответствии с рисунком: $h$ — высота предмета $AB$; $H$ — высота изображения $A'B'$; $d$ — расстояние от предмета до оптического центра линзы ($OB$); $f$ — расстояние от изображения до оптического центра линзы ($OB'$); $F$ — фокусное расстояние линзы ($OF$).

Рассмотрим две пары подобных треугольников на рисунке.

Первая пара — это треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle A'B'O$. Они подобны по двум углам. Во-первых, углы $\angle ABO$ и $\angle A'B'O$ прямые ($\angle ABO = \angle A'B'O = 90^\circ$), так как предмет и изображение по построению перпендикулярны главной оптической оси. Во-вторых, углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB'$ равны как вертикальные, поскольку луч $AOA'$ проходит через оптический центр $O$ не преломляясь.

Из подобия треугольников следует соотношение их соответствующих сторон:

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{OB}{OB'}$

Подставляя введенные обозначения, получаем первое соотношение:

$\frac{h}{H} = \frac{d}{f}$ (1)

Вторая пара — это треугольники $\triangle COF$ и $\triangle A'B'F$. Здесь точка $C$ — это точка пересечения луча, идущего от точки $A$ параллельно главной оптической оси, с плоскостью линзы (на рисунке она обозначена цифрой 1). Следовательно, высота $OC$ равна высоте предмета $AB$, то есть $OC = h$. После преломления в линзе этот луч проходит через фокус $F$ и точку изображения $A'$, поэтому точки $C$, $F$ и $A'$ лежат на одной прямой.

Эти треугольники также подобны по двум углам. Во-первых, углы $\angle COF$ и $\angle A'B'F$ прямые ($\angle COF = \angle A'B'F = 90^\circ$), так как отрезок $OC$ (в плоскости линзы) и изображение $A'B'$ перпендикулярны главной оптической оси. Во-вторых, углы $\angle CFO$ и $\angle A'FB'$ равны как вертикальные.

Из подобия этих треугольников следует соотношение их соответствующих сторон:

$\frac{OC}{A'B'} = \frac{OF}{B'F}$

Подставляя обозначения и учитывая, что $OC = h$ и катет $B'F = OB' - OF = f - F$, получаем второе соотношение:

$\frac{h}{H} = \frac{F}{f-F}$ (2)

Теперь приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как их левые части ($h/H$) равны:

$\frac{d}{f} = \frac{F}{f-F}$

Выполним преобразования этого выражения, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$d \cdot (f-F) = f \cdot F$

Раскроем скобки в левой части:

$df - dF = fF$

Перенесем член, содержащий $-dF$, в правую часть уравнения:

$df = fF + dF$

Вынесем $F$ за скобки в правой части:

$df = F(d+f)$

Чтобы получить стандартный вид формулы, разделим обе части уравнения на произведение $d \cdot f \cdot F$ (при условии, что $d \neq 0$, $f \neq 0$, $F \neq 0$):

$\frac{df}{dfF} = \frac{F(d+f)}{dfF}$

После сокращения получаем:

$\frac{1}{F} = \frac{d+f}{df}$

Разделим дробь в правой части на два слагаемых:

$\frac{1}{F} = \frac{d}{df} + \frac{f}{df}$

Сократив дроби, приходим к искомой формуле тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Таким образом, формула (40.3), известная как формула тонкой линзы, доказана.

Ответ: На основе анализа подобных треугольников ($\triangle ABO \sim \triangle A'B'O$ и $\triangle COF \sim \triangle A'B'F$), образующихся при построении лучей в тонкой собирающей линзе (рис. 40.9, а), доказана формула тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, а $F$ — фокусное расстояние линзы.