Номер 10, страница 199 - гдз по физике 8 класс учебник Кронгарт, Насохова

*10. В дно водоема вбит столб, часть которого высотой 1 м выступает над поверхностью воды. Найдите длину тени столба на поверхности воды и на дне водоема, если высота солнца над горизонтом 30°, а глубина реки 2 м.

(Ответ: $l = 1,73 \text{ м}$; $l_2 = 3,45 \text{ м}$)

Дано:

Высота столба над водой, $h_1 = 1$ м

Глубина водоема, $h_2 = 2$ м

Высота солнца над горизонтом, $\alpha_{гор} = 30°$

Показатель преломления воздуха, $n_1 \approx 1$

Показатель преломления воды, $n_2 \approx 1,33$

Найти:

Длину тени на поверхности воды, $l_1$ - ?

Длину тени на дне водоема, $l_2$ - ?

Решение:

Длина тени на поверхности воды

Тень на поверхности воды $l_1$ отбрасывается частью столба, выступающей над водой. Высота этой части $h_1$, солнечные лучи, падающие под углом $\alpha_{гор}$ к горизонту, и тень $l_1$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $h_1$ является катетом, противолежащим углу $\alpha_{гор}$, а $l_1$ — прилежащим катетом.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\alpha_{гор}) = \frac{h_1}{l_1}$

Выразим отсюда длину тени $l_1$:

$l_1 = \frac{h_1}{\tan(\alpha_{гор})} = \frac{1 \text{ м}}{\tan(30°)}$

Так как $\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то:

$l_1 = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1,732$ м.

Округлим результат до сотых долей.

Ответ: Длина тени на поверхности воды $l_1 \approx 1,73$ м.

Длина тени на дне водоема

Тень на дне водоема $l_2$ образуется лучом света, идущим от верхушки столба и преломляющимся на границе воздух-вода. Общая длина тени на дне складывается из двух отрезков: длины тени на поверхности воды $l_1$ и горизонтального смещения луча $l_x$ при прохождении через воду.

$l_2 = l_1 + l_x$

Для нахождения $l_x$ необходимо использовать закон преломления света (закон Снеллиуса). Сначала найдем угол падения $\alpha$ — угол между падающим лучом и нормалью к поверхности воды. Он связан с углом высоты солнца над горизонтом $\alpha_{гор}$:

$\alpha = 90° - \alpha_{гор} = 90° - 30° = 60°$

Закон преломления света:

$n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

где $\beta$ — угол преломления (угол между преломленным лучом и нормалью).

Выразим синус угла преломления:

$\sin(\beta) = \frac{n_1}{n_2} \sin(\alpha) = \frac{1}{1,33} \sin(60°)$

Так как $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$, то:

$\sin(\beta) \approx \frac{0,866}{1,33} \approx 0,6511$

Отсюда угол преломления $\beta = \arcsin(0,6511) \approx 40,63°$.

Горизонтальное смещение луча в воде $l_x$ найдем из прямоугольного треугольника, где одним катетом является глубина $h_2$, а другим — $l_x$. Угол, противолежащий катету $l_x$, равен $\beta$.

$\tan(\beta) = \frac{l_x}{h_2}$

$l_x = h_2 \tan(\beta) \approx 2 \text{ м} \cdot \tan(40,63°) \approx 2 \text{ м} \cdot 0,858 \approx 1,716$ м.

Теперь найдем общую длину тени на дне:

$l_2 = l_1 + l_x \approx 1,732 \text{ м} + 1,716 \text{ м} = 3,448$ м.

Округлим результат до сотых долей.

Ответ: Длина тени на дне водоема $l_2 \approx 3,45$ м.