Номер 11, страница 199 - гдз по физике 8 класс учебник Кронгарт, Насохова

*11. На дне ручья лежит камень. Желая попасть в него, мальчик, прицеливаясь, держит палку в воздухе под углом $45^\circ$. На каком расстоянии от камня палка воткнется в дно ручья, если глубина ручья 40 см?

(Ответ: 19 см)

Дано:

Глубина ручья $h = 40 \text{ см}$

Угол, под которым мальчик держит палку (угол линии визирования к нормали), $ \alpha = 45^\circ $

Показатель преломления воздуха $n_1 \approx 1$

Показатель преломления воды $n_2 \approx 1,33$ (примем для расчетов $n_2 = 4/3$)

Перевод в СИ:

$h = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от камня до места, куда воткнется палка, $\Delta x$

Решение:

Данная задача описывает оптическое явление преломления света на границе двух сред (воздух-вода). Из-за преломления мальчик видит камень не там, где он находится на самом деле, а в месте расположения его мнимого изображения. Целясь, он направляет палку вдоль прямой линии, ведущей к этому мнимому изображению.

Представим, что палка входит в воду в точке O. Траектория палки в воде представляет собой прямую линию, идущую под углом $\alpha = 45^\circ$ к нормали (вертикали). На глубине $h$ палка воткнется в дно в точке $S_{hit}$. Горизонтальное расстояние от точки входа O до точки $S_{hit}$ можно найти из прямоугольного треугольника:

$x_1 = h \cdot \tan(\alpha)$

Свет от реального камня, который находится в точке $S$, подходит к границе раздела сред в той же точке O. Угол падения луча в воде равен $\gamma$. После преломления луч выходит в воздух под углом $\alpha$. Эти углы связаны законом преломления Снеллиуса:

$n_2 \cdot \sin(\gamma) = n_1 \cdot \sin(\alpha)$

Реальный камень $S$ находится на той же глубине $h$, но на другом горизонтальном расстоянии от точки O. Это расстояние $x_2$ также можно найти из геометрии:

$x_2 = h \cdot \tan(\gamma)$

Искомое расстояние $\Delta x$ — это расстояние по горизонтали между точкой, куда воткнулась палка ($S_{hit}$), и реальным положением камня ($S$). Оно равно разности их горизонтальных смещений относительно вертикали, проходящей через точку O.

$\Delta x = x_1 - x_2 = h \cdot \tan(\alpha) - h \cdot \tan(\gamma) = h \cdot (\tan(\alpha) - \tan(\gamma))$

Теперь проведем вычисления. Примем $n_1 = 1$, $n_2 = 4/3$, $h = 40 \text{ см}$ и $\alpha = 45^\circ$.

Сначала найдем угол $\gamma$ из закона Снеллиуса:

$\sin(\gamma) = \frac{n_1}{n_2} \sin(\alpha) = \frac{1}{4/3} \sin(45^\circ) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$

Чтобы найти $\tan(\gamma)$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma)$ и определением тангенса $\tan(\gamma) = \sin(\gamma) / \cos(\gamma)$.

$\sin^2(\gamma) = \left(\frac{3\sqrt{2}}{8}\right)^2 = \frac{9 \cdot 2}{64} = \frac{18}{64} = \frac{9}{32}$

$\cos^2(\gamma) = 1 - \frac{9}{32} = \frac{23}{32} \implies \cos(\gamma) = \sqrt{\frac{23}{32}} = \frac{\sqrt{23}}{4\sqrt{2}}$

$\tan(\gamma) = \frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)} = \frac{3\sqrt{2}/8}{\sqrt{23}/(4\sqrt{2})} = \frac{3\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{23}} = \frac{3 \cdot 8}{8\sqrt{23}} = \frac{3}{\sqrt{23}}$

Теперь подставим все значения в формулу для $\Delta x$:

$\Delta x = h \cdot (\tan(45^\circ) - \tan(\gamma)) = 40 \text{ см} \cdot \left(1 - \frac{3}{\sqrt{23}}\right)$

Вычислим численное значение:

$\sqrt{23} \approx 4,796$

$\Delta x \approx 40 \cdot \left(1 - \frac{3}{4,796}\right) \approx 40 \cdot (1 - 0,6255) = 40 \cdot 0,3745 = 14,98 \text{ см}$

Округляя результат, получаем, что палка воткнется в дно на расстоянии примерно 15 см от камня.

Ответ: палка воткнется в дно ручья на расстоянии $15 \text{ см}$ от камня.