Номер 2, страница 206 - гдз по физике 8 класс учебник Кронгарт, Насохова

2. В каком случае высота изображения, полученного с помощью собирающей линзы, равна высоте предмета? Ответ поясните построением хода световых лучей в линзе.

(Ответ: когда тело находится на расстоянии $\text{2F}$ от линзы)

2. Высота изображения, полученного с помощью собирающей линзы, равна высоте предмета в случае, когда предмет расположен в точке двойного фокуса линзы.

Дано:

Собирающая линза
$H$ – высота изображения
$h$ – высота предмета
$H = h$

Найти:

$d$ – расстояние от предмета до линзы

Решение:

Воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения.

Формула тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $, где $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы до изображения, $F$ – фокусное расстояние линзы.

Линейное увеличение линзы $ \Gamma $ равно отношению высоты изображения $H$ к высоте предмета $h$: $ \Gamma = \frac{H}{h} $.

Также увеличение можно выразить через расстояния до предмета и изображения: $ \Gamma = \frac{f}{d} $.

По условию $H = h$, значит, линейное увеличение равно единице:

$ \Gamma = \frac{h}{h} = 1 $

Приравнивая это значение к другой формуле для увеличения, получаем:

$ \frac{f}{d} = 1 \implies f = d $

Это означает, что для получения изображения, равного по размеру предмету, расстояние до изображения должно быть равно расстоянию до предмета.

Теперь подставим полученное соотношение $f = d$ в формулу тонкой линзы:

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{d} = \frac{1}{F} $

$ \frac{2}{d} = \frac{1}{F} $

Выразим отсюда $d$:

$ d = 2F $

Таким образом, предмет должен находиться на двойном фокусном расстоянии от линзы.

Пояснение построением хода световых лучей:

Построим изображение предмета AB, расположенного на двойном фокусном расстоянии ($2F$) от собирающей линзы. Для этого из точки A проведём два луча:
1. Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе пройдёт через её задний фокус F.
2. Луч, проходящий через оптический центр линзы O, не преломляется и не меняет своего направления.

Точка пересечения этих лучей (A') даёт изображение верхушки предмета. Опустив перпендикуляр из точки A' на главную оптическую ось, получаем изображение A'B'.

Из симметрии построения (рассмотрение подобных треугольников $ \triangle ABO $ и $ \triangle A'B'O $) видно, что если $OB=2F$, то и $OB'=2F$. При этом высота изображения $A'B'$ оказывается равной высоте предмета $AB$. Изображение получается действительным (т.к. образовано пересечением самих лучей), перевёрнутым и равным по величине предмету.

Ответ: высота изображения равна высоте предмета, когда предмет находится на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию от собирающей линзы ($d=2F$).