Страница 172 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин, Иванов

УПРАЖНЕНИЕ 40

1. Спираль утюга мощностью 1 кВт изготовлена из нихромовой проволоки площадью поперечного сечения 0,1 мм². Утюг включается в сеть напряжением 220 В. Определите длину проволоки.

1. Дано:

Мощность, $P = 1$ кВт

Площадь поперечного сечения, $S = 0,1$ мм²

Напряжение, $U = 220$ В

Материал - нихром, удельное сопротивление (табличное значение) $\rho = 1,1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

$P = 1 \text{ кВт} = 1000 \text{ Вт}$

$S = 0,1 \text{ мм}^2 = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 10^{-7} \text{ м}^2$

$\rho = 1,1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Длину проволоки, $l$

Решение:

Сопротивление проводника можно определить по формуле, связывающей его геометрические размеры и материал:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $R$ – сопротивление, $\rho$ – удельное сопротивление материала, $l$ – длина проводника, а $S$ – площадь его поперечного сечения.

Из этой формулы выразим искомую длину проволоки $l$:

$l = \frac{R \cdot S}{\rho}$ (1)

Сопротивление спирали $R$ можно найти, зная ее мощность $P$ и напряжение в сети $U$. Формула мощности электрического тока:

$P = \frac{U^2}{R}$

Отсюда выразим сопротивление $R$:

$R = \frac{U^2}{P}$ (2)

Теперь подставим выражение для сопротивления (2) в формулу для длины (1):

$l = \frac{U^2 \cdot S}{P \cdot \rho}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$l = \frac{(220 \text{ В})^2 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2}{1000 \text{ Вт} \cdot 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{48400 \cdot 10^{-7}}{1100 \cdot 10^{-6}} \text{ м} = \frac{484 \cdot 10^{-5}}{11 \cdot 10^{-4}} \text{ м} = 44 \cdot 10^{-1} \text{ м} = 4,4 \text{ м}$

Ответ: длина проволоки равна 4,4 м.

2. Как изменилась мощность тока в электроплитке, если при ремонте проволоку её нагревательного элемента укоротили в 3 раза? Почему?

Дано:

$l_1$ — начальная длина проволоки

$l_2 = \frac{l_1}{3}$ — конечная длина проволоки

$U = \text{const}$ — напряжение сети постоянно

Найти:

$\frac{P_2}{P_1}$ — отношение конечной мощности к начальной

Решение:

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть, как мощность тока зависит от характеристик нагревательного элемента.

1. Сопротивление $R$ проводника зависит от его геометрических размеров и материала. Эта зависимость выражается формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ (ро) — удельное электрическое сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения.

В нашем случае проволоку укоротили, но её материал и толщина ($S$) остались прежними. Это означает, что сопротивление прямо пропорционально длине: $R \propto l$.

Пусть начальное сопротивление проволоки было $R_1$ при длине $l_1$. После того как проволоку укоротили в 3 раза, её новая длина стала $l_2 = \frac{l_1}{3}$. Новое сопротивление $R_2$ будет:

$R_2 = \rho \frac{l_2}{S} = \rho \frac{l_1/3}{S} = \frac{1}{3} \left(\rho \frac{l_1}{S}\right) = \frac{R_1}{3}$

Следовательно, сопротивление нагревательного элемента уменьшилось в 3 раза.

2. Мощность тока $P$ в цепи с постоянным напряжением $U$ (электроплитка подключается к бытовой сети, где напряжение постоянно) обратно пропорциональна сопротивлению $R$:

$P = \frac{U^2}{R}$

Начальная мощность электроплитки $P_1$ была равна:

$P_1 = \frac{U^2}{R_1}$

После уменьшения сопротивления новая мощность $P_2$ составит:

$P_2 = \frac{U^2}{R_2}$

Подставим в это выражение найденное значение $R_2 = \frac{R_1}{3}$:

$P_2 = \frac{U^2}{R_1/3} = 3 \cdot \frac{U^2}{R_1}$

Так как $\frac{U^2}{R_1}$ это начальная мощность $P_1$, то получаем:

$P_2 = 3 P_1$

Таким образом, мощность тока в электроплитке увеличилась в 3 раза.

Объяснение (ответ на вопрос "Почему?"): Мощность тока увеличилась, так как при укорачивании проволоки нагревательного элемента в 3 раза её сопротивление, прямо пропорциональное длине, также уменьшилось в 3 раза. А так как мощность тока в цепи при постоянном напряжении обратно пропорциональна сопротивлению, то её значение, наоборот, увеличилось в 3 раза.

Ответ: мощность тока в электроплитке увеличилась в 3 раза.

3. Две лампы имеют одинаковую мощность. По номиналу одна лампа рассчитана на напряжение 220 В, а вторая — 127 В. Отличаются ли сопротивления ламп? Во сколько раз?

Дано:

Номинальное напряжение первой лампы, $U_1 = 220 \text{ В}$

Номинальное напряжение второй лампы, $U_2 = 127 \text{ В}$

Мощности ламп равны, $P_1 = P_2 = P$

Единицы измерения (Вольт, В) соответствуют системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Отношение сопротивлений $\frac{R_1}{R_2}$.

Решение:

Номинальная мощность $P$ электрического прибора связана с его номинальным напряжением $U$ и сопротивлением $R$ формулой:

$P = \frac{U^2}{R}$

Из этой формулы можно выразить сопротивление $R$:

$R = \frac{U^2}{P}$

Сопротивления для каждой из ламп будут равны:

$R_1 = \frac{U_1^2}{P_1}$ для первой лампы;

$R_2 = \frac{U_2^2}{P_2}$ для второй лампы.

Поскольку по условию задачи номинальные напряжения ламп различны ($U_1 \neq U_2$), а их мощности одинаковы ($P_1 = P_2$), то из формулы следует, что их сопротивления также будут отличаться. Таким образом, на вопрос "Отличаются ли сопротивления ламп?" ответ — да.

Чтобы ответить на вопрос "Во сколько раз?", найдем отношение сопротивления первой лампы к сопротивлению второй:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{U_1^2 / P_1}{U_2^2 / P_2}$

Так как $P_1 = P_2$, то мощности в выражении сокращаются:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{U_1^2}{U_2^2} = \left(\frac{U_1}{U_2}\right)^2$

Подставим числовые значения напряжений:

$\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{220 \text{ В}}{127 \text{ В}}\right)^2 = \frac{220^2}{127^2} = \frac{48400}{16129} \approx 2.9996$

Полученное значение можно округлить до 3. Это означает, что сопротивление лампы, рассчитанной на напряжение 220 В, приблизительно в 3 раза больше сопротивления лампы, рассчитанной на 127 В.

Ответ: Да, сопротивления ламп отличаются. Сопротивление лампы, рассчитанной на напряжение 220 В, примерно в 3 раза больше, чем у лампы, рассчитанной на 127 В.

4. Перегоревшую спираль электрического утюга мощностью 1,5 кВт укоротили на одну треть. Какой при этом стала мощность утюга?

Дано:

Начальная мощность утюга, $P_1 = 1,5 \text{ кВт} = 1500 \text{ Вт}$

Спираль укоротили на одну треть, следовательно, ее новая длина $l_2$ связана с начальной длиной $l_1$ соотношением: $l_2 = l_1 - \frac{1}{3}l_1 = \frac{2}{3}l_1$

Найти:

Новая мощность утюга, $P_2$

Решение:

Мощность электрического прибора, подключенного к сети с напряжением $U$, определяется формулой:

$P = \frac{U^2}{R}$

где $R$ – сопротивление спирали. Напряжение в электрической сети $U$ можно считать постоянным.

Сопротивление проводника (в данном случае спирали) рассчитывается по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ – удельное сопротивление материала спирали, $l$ – ее длина, а $S$ – площадь поперечного сечения.

Изначально мощность утюга была:

$P_1 = \frac{U^2}{R_1}$

где $R_1 = \rho \frac{l_1}{S}$ – начальное сопротивление спирали.

После того как спираль укоротили, ее новая длина стала $l_2 = \frac{2}{3}l_1$. Так как материал и толщина спирали не изменились, величины $\rho$ и $S$ остались прежними. Новое сопротивление спирали $R_2$ будет равно:

$R_2 = \rho \frac{l_2}{S} = \rho \frac{\frac{2}{3}l_1}{S} = \frac{2}{3} \left(\rho \frac{l_1}{S}\right) = \frac{2}{3}R_1$

Таким образом, сопротивление спирали уменьшилось.

Новая мощность утюга $P_2$ будет равна:

$P_2 = \frac{U^2}{R_2}$

Подставим в эту формулу выражение для $R_2$ через $R_1$:

$P_2 = \frac{U^2}{\frac{2}{3}R_1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{U^2}{R_1}$

Поскольку $\frac{U^2}{R_1} = P_1$, то получаем связь между новой и старой мощностью:

$P_2 = \frac{3}{2} P_1$

Теперь можно рассчитать числовое значение новой мощности:

$P_2 = \frac{3}{2} \cdot 1,5 \text{ кВт} = 1,5 \cdot 1,5 \text{ кВт} = 2,25 \text{ кВт}$

Ответ: новая мощность утюга стала 2,25 кВт.

ОБСУДИМ?

Ученик Ваня Петров приехал к бабушке на зимние каникулы. Его попросили нарядить ёлку и выдали игрушки и старую гирлянду. Когда Ваня включил гирлянду в сеть напряжением 220 В, одна из лампочек на ней особенно ярко вспыхнула, и гирлянда погасла. Рассмотрев гирлянду, Ваня обнаружил, что гирлянда состоит только из лампочек и соединительных проводов, соединённых последовательно, а одна лампочка почернела изнутри. Немного подумав, он предложил другую схему соединения ламп гирлянды, более удобную для эксплуатации.

Какую схему нарисовал Иван? Предложите варианты соединения ламп, при которых гирлянда будет работать даже при перегоревшей лампочке и при включении не будет перегорать. Аргументируйте своё предложение.

Проблема исходной гирлянды заключается в последовательном соединении лампочек. При таком соединении все элементы цепи (лампочки) включены друг за другом, образуя единый путь для электрического тока. Главный недостаток такой схемы — при перегорании (обрыве нити накала) одной лампочки вся цепь разрывается, и ток перестает течь. В результате гаснут все лампочки, и найти неисправную становится сложно.

При последовательном соединении общее напряжение сети $U_{сети}$ распределяется между всеми лампочками. Если в гирлянде $N$ одинаковых лампочек, то напряжение на каждой из них составляет:

$U_{лампа} = \frac{U_{сети}}{N}$

Для сети 220 В и, например, 40 лампочек, на каждую придется $220 / 40 = 5.5 \text{ В}$, что позволяет использовать низковольтные лампочки.

Какую схему нарисовал Иван?

Скорее всего, Иван, проанализировав недостатки последовательного соединения, предложил схему, которая лишена главного из них — полного отказа при перегорании одной лампочки. Используя те же компоненты (лампочки и провода), наиболее логичным и умным решением было бы нарисовать смешанную (параллельно-последовательную) схему соединения.

В такой схеме все лампочки гирлянды делятся на несколько одинаковых групп (ветвей). Эти группы подключаются к сети параллельно друг другу, а внутри каждой группы лампочки соединены последовательно. Если одна из лампочек перегорит, то погаснет только та группа, в которой она находится, а все остальные группы продолжат светиться. Это значительно удобнее для эксплуатации.

Ответ: Иван, скорее всего, нарисовал смешанную (параллельно-последовательную) схему соединения, так как она повышает надежность гирлянды, используя имеющиеся компоненты.

Предложите варианты соединения ламп, при которых гирлянда будет работать даже при перегоревшей лампочке и при включении не будет перегорать.

Существует несколько вариантов схем, отвечающих этим требованиям.

Вариант 1: Смешанное соединение

Как уже было упомянуто, это наиболее вероятное решение, которое мог предложить Иван. Гирлянда делится на несколько $m$ параллельных ветвей. В каждой ветви находится $k$ лампочек, соединенных последовательно. Общее число лампочек $N = m \cdot k$. Напряжение сети 220 В прикладывается к каждой параллельной ветви. Внутри ветви это напряжение делится на $k$ лампочек. Число лампочек $k$ в каждой ветви подбирается так, чтобы напряжение на одной лампочке $U_{лампа} = \frac{220 \text{ В}}{k}$ было равно ее номинальному рабочему напряжению. Например, если гирлянда состояла из 100 лампочек на 2.2 В, можно сделать 5 параллельных ветвей по 20 лампочек в каждой. Напряжение на каждой лампочке будет $220 / 20 = 11 \text{ В}$ (этот пример показывает важность правильного расчета). Если исходная гирлянда из 40 лампочек по 5.5 В, то можно сделать 2 параллельные ветви по 20 лампочек. Напряжение на каждой станет $220 / 20 = 11 \text{ В}$, что приведет к их перегоранию. Правильным решением было бы сохранить количество лампочек в последовательной цепи, достаточное для падения напряжения до номинального (например, 40 штук), и сделать несколько таких цепей параллельными (например, 2 ветви по 40 лампочек). При перегорании одной лампочки погаснет только ее ветвь из 40 лампочек, а вторая продолжит работать.

Вариант 2: Параллельное соединение с понижающим блоком питания

Это более современный и надежный подход. Все лампочки гирлянды соединяются параллельно. При параллельном соединении напряжение на всех элементах одинаково. Чтобы низковольтные лампочки не перегорели от сетевого напряжения 220 В, гирлянда подключается к сети через специальное устройство — понижающий трансформатор или импульсный блок питания (адаптер). Это устройство преобразует 220 В в безопасное низкое напряжение (например, 12 В или 24 В). В этом случае все лампочки в гирлянде должны быть рассчитаны на это низкое напряжение.

При такой схеме, если одна лампочка перегорает, она просто перестает светиться, никак не влияя на работу остальных. Это самая надежная схема.

Ответ: Два основных варианта: 1) Смешанное (параллельно-последовательное) соединение, где гирлянда разбита на несколько параллельных групп с последовательно соединенными в них лампочками. 2) Параллельное соединение всех лампочек с использованием понижающего трансформатора (блока питания) для преобразования сетевого напряжения 220 В в безопасное низкое напряжение.

Аргументируйте своё предложение.

Предложенные схемы решают обе проблемы исходной гирлянды.

1. Проблема надежности: В изначальной последовательной схеме выход из строя одного элемента ведет к отказу всей системы.

• Смешанная схема решает эту проблему частично: при перегорании одной лампы из строя выходит только одна из нескольких ветвей, а остальная часть гирлянды продолжает работать. Это обеспечивает частичную работоспособность и упрощает поиск неисправности.
• Параллельная схема с адаптером решает эту проблему полностью: перегорание одной лампочки никак не сказывается на работе остальных. Это обеспечивает максимальную надежность.

2. Проблема перегорания от высокого напряжения: Лампочки в гирляндах обычно низковольтные. Простое параллельное подключение к сети 220 В привело бы к их мгновенному сгоранию, так как на каждую пришлось бы полное напряжение сети.

• Смешанная схема решает эту проблему за счет последовательного соединения лампочек внутри каждой ветви. Напряжение сети 220 В делится между лампочками в ветви, и на каждую приходится лишь небольшая его часть, соответствующая ее номиналу.
• Параллельная схема решает эту проблему за счет использования понижающего блока питания, который подает на все параллельно соединенные лампочки безопасное низкое напряжение, на которое они и рассчитаны.

Таким образом, оба предложенных варианта являются более удобными и надежными для эксплуатации по сравнению с простой последовательной схемой.

Ответ: Предложенные смешанная и параллельная (с адаптером) схемы являются более совершенными, так как они обеспечивают работу гирлянды даже при перегорании одной или нескольких лампочек и рассчитаны на безопасную работу от сети 220 В, что делает их более надежными и удобными в использовании.