Номер 1, страница 51 - гдз по физике 8 класс учебник Закирова, Аширов

1. Для приготовления ванны теплой воды температурой $40^\circ \text{C}$ смешали холодную воду при $10^\circ \text{C}$ с горячей при температуре $60^\circ \text{C}$. Какой объем горячей воды был добавлен в холодную объемом $80 \text{л}$?

1. Дано:

Температура конечной смеси, $T = 40$ °С

Температура холодной воды, $T_{х} = 10$ °С

Температура горячей воды, $T_{г} = 60$ °С

Объем холодной воды, $V_{х} = 80$ л

$V_{х} = 80 \text{ л} = 80 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.08 \text{ м}^3$

Примечание: Перевод температур в Кельвины не требуется, так как в уравнении теплового баланса используются разности температур, которые одинаковы как в шкале Цельсия, так и в шкале Кельвина.

Найти:

Объем горячей воды, $V_{г}$

Решение:

Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. В изолированной системе количество теплоты, отданное горячим телом, равно количеству теплоты, полученному холодным телом. В данном случае горячая вода отдает тепло, а холодная — получает. Потерями тепла в окружающую среду пренебрегаем.

Количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_{отд}$), определяется по формуле:

$Q_{отд} = c \cdot m_{г} \cdot (T_{г} - T)$

Количество теплоты, полученное холодной водой ($Q_{пол}$):

$Q_{пол} = c \cdot m_{х} \cdot (T - T_{х})$

Здесь $c$ — удельная теплоемкость воды, $m_{г}$ и $m_{х}$ — массы горячей и холодной воды.

Составим уравнение теплового баланса:

$Q_{отд} = Q_{пол}$

$c \cdot m_{г} \cdot (T_{г} - T) = c \cdot m_{х} \cdot (T - T_{х})$

Массу воды можно выразить через ее плотность $\rho$ и объем $V$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Подставим это выражение в уравнение:

$c \cdot \rho \cdot V_{г} \cdot (T_{г} - T) = c \cdot \rho \cdot V_{х} \cdot (T - T_{х})$

Поскольку мы смешиваем воду, удельная теплоемкость $c$ и плотность $\rho$ для горячей и холодной воды одинаковы (пренебрегая их зависимостью от температуры). Поэтому мы можем сократить $c$ и $\rho$ в обеих частях уравнения:

$V_{г} \cdot (T_{г} - T) = V_{х} \cdot (T - T_{х})$

Теперь выразим из этого уравнения искомый объем горячей воды $V_{г}$:

$V_{г} = \frac{V_{х} \cdot (T - T_{х})}{T_{г} - T}$

Подставим числовые значения из условия задачи. Расчет можно вести в литрах, так как единицы измерения объема в итоге будут такими же, как у исходных данных.

$V_{г} = \frac{80 \text{ л} \cdot (40 \text{ °С} - 10 \text{ °С})}{60 \text{ °С} - 40 \text{ °С}}$

$V_{г} = \frac{80 \cdot 30}{20} \text{ л}$

$V_{г} = \frac{2400}{20} \text{ л}$

$V_{г} = 120 \text{ л}$

Ответ: для приготовления ванны было добавлено 120 л горячей воды.