Номер 3, страница 51 - гдз по физике 8 класс учебник Закирова, Аширов

3. Стальной осколок, падая с высоты $500 \text{ м}$, имел у поверхности земли скорость $50 \text{ м/с}$. Определите, насколько повысилась температура осколка, если считать, что вся работа сопротивления воздуха пошла на его нагревание?

Дано:

Высота падения, $h = 500$ м

Скорость у поверхности земли, $v = 50$ м/с

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Удельная теплоемкость стали, $c = 500$ Дж/(кг·К) (справочное значение)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Повышение температуры осколка, $\Delta T$

Решение:

При падении стального осколка его полная механическая энергия уменьшается из-за работы сил сопротивления воздуха. Согласно закону изменения механической энергии, это изменение равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы сопротивления воздуха $A_{сопр}$).

$\Delta E_{мех} = E_{кон} - E_{нач} = A_{сопр}$

По условию задачи, вся работа сопротивления воздуха ($A_{сопр}$) пошла на нагревание осколка. Работа, совершаемая силой сопротивления, отрицательна ($A_{сопр} < 0$), так как сила направлена против движения. Количество теплоты $Q$, полученное осколком, является положительной величиной и равно убыли механической энергии:

$Q = -A_{сопр} = E_{нач} - E_{кон}$

Начальная механическая энергия осколка на высоте $h$ (предполагаем, что падение начинается из состояния покоя, т.е. начальная скорость $v_{нач}=0$):

$E_{нач} = E_{p, нач} + E_{k, нач} = mgh + 0 = mgh$

Конечная механическая энергия осколка у поверхности земли (высота $h_{кон}=0$):

$E_{кон} = E_{p, кон} + E_{k, кон} = 0 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv^2$

Тогда количество теплоты $Q$, пошедшее на нагрев, равно разности начальной и конечной механических энергий:

$Q = mgh - \frac{1}{2}mv^2 = m(gh - \frac{1}{2}v^2)$

С другой стороны, количество теплоты, поглощенное телом при нагревании, рассчитывается по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta T$

где $c$ - удельная теплоемкость стали, $m$ - масса осколка, $\Delta T$ - искомое изменение температуры.

Приравняем два выражения для количества теплоты $Q$:

$c \cdot m \cdot \Delta T = m(gh - \frac{1}{2}v^2)$

Масса осколка $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается:

$c \cdot \Delta T = gh - \frac{1}{2}v^2$

Отсюда выразим искомое изменение температуры $\Delta T$:

$\Delta T = \frac{gh - \frac{1}{2}v^2}{c}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta T = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 500 \text{ м} - \frac{1}{2}(50 \text{ м/с})^2}{500 \mathrm{Дж/(кг \cdot К)}}$

$\Delta T = \frac{4900 \text{ Дж/кг} - \frac{1}{2} \cdot 2500 \text{ Дж/кг}}{500 \mathrm{Дж/(кг \cdot К)}}$

$\Delta T = \frac{4900 - 1250}{500} \text{ К}$

$\Delta T = \frac{3650}{500} \text{ К} = 7.3 \text{ К}$

Так как изменение температуры в шкале Кельвина численно равно изменению в шкале Цельсия, то $\Delta T = 7.3$ °C.

Ответ: температура осколка повысилась на 7.3 К.