Номер 3, страница 178 - гдз по физике 8 класс учебник Закирова, Аширов

3. Кипятильник с КПД $80\%$ изготовлен из нихромовой проволоки сечением $0,84 \text{ мм}^2$ и включен в сеть с напряжением $220 \text{ В}$. За $20 \text{ мин}$ с его помощью было нагрето $4 \text{ л}$ воды от $10 \text{ °С}$ до $90 \text{ °С}$. Какова длина проволоки, из которой изготовлен кипятильник?

Дано:

КПД, $\eta = 80\%$

Площадь сечения проволоки, $S = 0,84 \text{ мм}^2$

Напряжение, $U = 220 \text{ В}$

Время, $t = 20 \text{ мин}$

Объем воды, $V = 4 \text{ л}$

Начальная температура воды, $t_1 = 10 \text{ °С}$

Конечная температура воды, $t_2 = 90 \text{ °С}$

Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$

Плотность воды, $\rho_{воды} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Удельное сопротивление нихрома, $\rho = 1,1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Перевод в систему СИ:

$\eta = 80\% = 0,8$

$S = 0,84 \text{ мм}^2 = 0,84 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$t = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$

$V = 4 \text{ л} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$\rho = 1,1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Длину проволоки, $l$.

Решение:

1. Найдем количество теплоты, которое пошло на нагрев воды (полезная работа $Q_{полезная}$). Оно вычисляется по формуле:

$Q_{полезная} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

Для этого сначала определим массу воды $m$, зная её объем $V$ и плотность $\rho_{воды}$:

$m = \rho_{воды} \cdot V = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 4 \text{ кг}$

Теперь рассчитаем полезное количество теплоты:

$Q_{полезная} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot 4 \text{ кг} \cdot (90 \text{ °С} - 10 \text{ °С}) = 4200 \cdot 4 \cdot 80 = 1344000 \text{ Дж}$

2. Коэффициент полезного действия (КПД) кипятильника — это отношение полезной работы к полной (затраченной) работе $Q_{затраченная}$:

$\eta = \frac{Q_{полезная}}{Q_{затраченная}}$

Отсюда найдем полную работу, совершенную электрическим током:

$Q_{затраченная} = \frac{Q_{полезная}}{\eta} = \frac{1344000 \text{ Дж}}{0,8} = 1680000 \text{ Дж}$

3. Полная работа тока (или количество теплоты, выделившееся на нагревательном элементе) определяется законом Джоуля-Ленца:

$Q_{затраченная} = P \cdot t = \frac{U^2}{R} \cdot t$

Из этой формулы выразим сопротивление $R$ нихромовой проволоки:

$R = \frac{U^2 \cdot t}{Q_{затраченная}}$

Подставим числовые значения:

$R = \frac{(220 \text{ В})^2 \cdot 1200 \text{ с}}{1680000 \text{ Дж}} = \frac{48400 \cdot 1200}{1680000} \text{ Ом} = \frac{58080000}{1680000} \text{ Ом} = \frac{5808}{168} \text{ Ом} \approx 34,57 \text{ Ом}$

4. Сопротивление проводника также зависит от его удельного сопротивления $\rho$, длины $l$ и площади поперечного сечения $S$:

$R = \rho \frac{l}{S}$

Выразим из этой формулы искомую длину проволоки $l$:

$l = \frac{R \cdot S}{\rho}$

Для удобства расчетов можно использовать $S$ в $мм^2$ и $\rho$ в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, так как единицы измерения сократятся.

$l = \frac{34,5714... \text{ Ом} \cdot 0,84 \text{ мм}^2}{1,1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} = \frac{29,04}{1,1} \text{ м} = 26,4 \text{ м}$

Ответ: длина проволоки, из которой изготовлен кипятильник, равна 26,4 м.