Задание, страница 258 - гдз по физике 8 класс учебник Закирова, Аширов

Используя один из рисунков 215–220, докажите, что: $\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$

Для доказательства формулы линейного увеличения линзы воспользуемся геометрическим построением. Рассмотрим случай получения действительного, перевернутого изображения с помощью собирающей линзы, который обычно представлен на подобных рисунках.

Решение:

Рассмотрим построение изображения предмета $AB$ высотой $h$ в тонкой собирающей линзе. Предмет расположен на расстоянии $d$ от оптического центра линзы $O$. Его изображение $A_1B_1$ высотой $H$ формируется на расстоянии $f$ от линзы.

Для нахождения доказательства рассмотрим два треугольника: $\triangle OAB$ и $\triangle OA_1B_1$.

1. Треугольник $\triangle OAB$ образован предметом $AB$, отрезком главной оптической оси $OA$ и лучом $BO$, который проходит через оптический центр линзы $O$ без преломления.

2. Треугольник $\triangle OA_1B_1$ образован изображением $A_1B_1$, отрезком главной оптической оси $OA_1$ и тем же лучом $OB_1$.

Эти два треугольника являются подобными ($\triangle OAB \sim \triangle OA_1B_1$) по двум углам:

• $\angle AOB = \angle A_1OB_1$ как вертикальные углы.
• $\angle OAB = \angle OA_1B_1 = 90^\circ$, поскольку предмет и изображение перпендикулярны главной оптической оси.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{OA_1}{OA} $

Теперь заменим стороны треугольников на физические величины, которые они представляют:

• $AB = h$ — высота предмета.
• $A_1B_1 = H$ — высота изображения.
• $OA = d$ — расстояние от предмета до линзы.
• $OA_1 = f$ — расстояние от линзы до изображения.

Подставив эти значения в пропорцию, получим:

$ \frac{H}{h} = \frac{f}{d} $

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ по определению равно отношению высоты изображения к высоте предмета:

$ \Gamma = \frac{H}{h} $

Объединив два последних равенства, мы приходим к доказываемой формуле:

$ \Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d} $

Таким образом, формула доказана на основе подобия треугольников в схеме построения изображения в тонкой линзе.

Ответ: Доказательство приведено выше и основано на подобии треугольников, образуемых предметом, изображением и лучом, проходящим через оптический центр линзы. Из подобия следует соотношение $ \frac{H}{h} = \frac{f}{d} $, которое, в свою очередь, равно линейному увеличению $ \Gamma $.