Номер 113, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

113. Нарисуйте многоугольник, координаты точек которого удовлетворяют неравенствам:

$\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 4, \\ 0 \le y \le 4, \\ x + y \ge 2. \end{array} \right.$

Для того чтобы нарисовать (описать) многоугольник, координаты точек которого удовлетворяют заданным неравенствам, необходимо последовательно рассмотреть каждую из трех указанных областей на координатной плоскости и найти их общее пересечение.

Заданная система неравенств:

$ \begin{cases} 0 \le x \le 4, \\ 0 \le y \le 4, \\ x + y \ge 2. \end{cases} $

1. Неравенства $0 \le x \le 4$ и $0 \le y \le 4$ вместе определяют область, представляющую собой квадрат. Границы этого квадрата проходят по прямым $x=0$ (ось OY), $x=4$, $y=0$ (ось OX) и $y=4$. Вершины этого квадрата находятся в точках с координатами $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,4)$ и $(0,4)$.

2. Неравенство $x + y \ge 2$ определяет полуплоскость. Границей этой области является прямая $x + y = 2$. Для ее построения найдем точки пересечения с осями координат:
- при $x=0$, $y=2$, получаем точку $(0,2)$;
- при $y=0$, $x=2$, получаем точку $(2,0)$.
Прямая проходит через эти две точки. Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением неравенства, можно использовать пробную точку, например, начало координат $(0,0)$. Подставив эти значения в неравенство, получим $0 + 0 \ge 2$, что является ложным. Следовательно, искомая область — это полуплоскость, которая не содержит начало координат, то есть область "выше" и "правее" прямой $x+y=2$.

3. Искомый многоугольник является пересечением этих трех областей: квадрата и полуплоскости. Это означает, что мы берем квадрат, определенный первыми двумя неравенствами, и отсекаем от него ту часть, которая не удовлетворяет третьему неравенству (то есть область, где $x+y < 2$). Прямая $x+y=2$ отсекает от левого нижнего угла квадрата прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0,0)$, $(2,0)$ и $(0,2)$.

В результате получается пятиугольник. Его вершины — это точки пересечения граничных линий, образующих фигуру:
- Точка $(2,0)$ — пересечение прямых $y=0$ и $x+y=2$.
- Точка $(4,0)$ — вершина исходного квадрата.
- Точка $(4,4)$ — вершина исходного квадрата.
- Точка $(0,4)$ — вершина исходного квадрата.
- Точка $(0,2)$ — пересечение прямых $x=0$ и $x+y=2$.

Ответ: Искомый многоугольник — это пятиугольник с вершинами в точках с координатами $(2,0)$, $(4,0)$, $(4,4)$, $(0,4)$ и $(0,2)$. Он представляет собой квадрат с вершинами в $(0,0), (4,0), (4,4), (0,4)$, из которого вырезан прямоугольный треугольник с вершинами в $(0,0), (2,0), (0,2)$.