Номер 111, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

111. Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых:

а) параллельны;

б) перпендикулярны:

1) $x+y-2=0, x+y+3=0;$

2) $x+y-2=0, x-y-3=0;$

3) $-7x+y=0, 7x-y+4=0;$

4) $4x-2y-8=0, -x-2y+4=0.$

Для определения взаимного расположения двух прямых, заданных общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, применяются следующие критерии. Прямые параллельны, если коэффициенты при соответствующих переменных пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$. Чтобы прямые не совпадали, это отношение не должно быть равно отношению свободных членов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. Прямые перпендикулярны, если сумма произведений соответствующих коэффициентов при $x$ и $y$ равна нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$. Проанализируем каждую пару прямых на соответствие этим условиям.

а) параллельны

Проверим, какие из заданных пар прямых удовлетворяют условию параллельности.

1) $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$

Для этих прямых коэффициенты равны: $A_1 = 1, B_1 = 1, C_1 = -2$ и $A_2 = 1, B_2 = 1, C_2 = 3$.

Вычислим отношения коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$ и $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$.

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, прямые параллельны. Для проверки, что они не совпадают, сравним с отношением свободных членов: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-2}{3}$. Так как $1 \neq -\frac{2}{3}$, прямые являются параллельными, но не совпадающими.

3) $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$

Коэффициенты: $A_1 = -7, B_1 = 1, C_1 = 0$ и $A_2 = 7, B_2 = -1, C_2 = 4$.

Вычислим отношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{-7}{7} = -1$ и $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$.

Отношения равны, значит, прямые параллельны. Проверим несовпадение: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{0}{4} = 0$. Так как $-1 \neq 0$, прямые параллельны и не совпадают.

Ответ: пары прямых 1) и 3) параллельны.

б) перпендикулярны

Проверим, какие из заданных пар прямых удовлетворяют условию перпендикулярности.

2) $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$

Коэффициенты: $A_1 = 1, B_1 = 1$ и $A_2 = 1, B_2 = -1$.

Проверим условие $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$: $1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$. Условие выполнено, следовательно, прямые перпендикулярны.

4) $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$

Коэффициенты: $A_1 = 4, B_1 = -2$ и $A_2 = -1, B_2 = -2$.

Проверим условие $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$: $4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = -4 + 4 = 0$. Условие выполнено, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: пары прямых 2) и 4) перпендикулярны.