Номер 114, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

114. Изобразите фигуру, координаты $(x; y)$ точек которой удовлетворяют неравенствам $0 \le x^2 + y^2 - 2x \le 1$.

Для того чтобы изобразить фигуру, заданную неравенствами $0 \le x^2 + y^2 - 2x \le 1$, необходимо проанализировать это выражение. Преобразуем среднюю часть неравенства, выделив полный квадрат для переменной $x$.

Выражение $x^2 + y^2 - 2x$ можно переписать, сгруппировав члены с $x$ и дополнив их до полного квадрата:$x^2 - 2x + y^2 = (x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = (x-1)^2 + y^2 - 1$.

Теперь исходное двойное неравенство можно записать в более удобном для анализа виде:$0 \le (x-1)^2 + y^2 - 1 \le 1$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно. Рассмотрим каждое из них.

1. Левая часть неравенства: $0 \le (x-1)^2 + y^2 - 1$. Его можно переписать как $(x-1)^2 + y^2 \ge 1$. Уравнение $(x-1)^2 + y^2 = 1$ задает окружность с центром в точке $C(1; 0)$ и радиусом $r_1 = 1$. Следовательно, неравенство $(x-1)^2 + y^2 \ge 1$ описывает все точки, лежащие на этой окружности и вне ее.

2. Правая часть неравенства: $(x-1)^2 + y^2 - 1 \le 1$. Его можно переписать как $(x-1)^2 + y^2 \le 2$. Уравнение $(x-1)^2 + y^2 = 2$ задает окружность с тем же центром $C(1; 0)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{2}$. Следовательно, неравенство $(x-1)^2 + y^2 \le 2$ описывает все точки, лежащие на этой окружности и внутри нее.

Искомая фигура является пересечением множеств точек, удовлетворяющих обоим условиям. Геометрически это кольцо (аннулус), которое заключено между двумя концентрическими окружностями. Центр обеих окружностей находится в точке $(1; 0)$. Внутренняя граница кольца — это окружность радиусом $1$, а внешняя — окружность радиусом $\sqrt{2}$. Поскольку оба неравенства нестрогие (содержат знаки $\le$ и $\ge$), точки на обеих граничных окружностях также принадлежат искомой фигуре.

Ответ: Искомая фигура — это кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в точке $(1; 0)$. Радиус внутренней окружности равен $1$, а радиус внешней окружности равен $\sqrt{2}$. Обе окружности, являющиеся границами, включены в фигуру.