Номер 109, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

109. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки:
а) $A_1(1; 2), A_2(3; 2);$
б) $A_1(1; 2), A_2(2; 3);$
в) $A_1(1; 2), A_2(2; 1).$

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$, используется каноническое уравнение прямой: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Это уравнение можно также представить в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, который вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

а) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(3; 2)$.

В этом случае $x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 3, y_2 = 2$.

Так как ординаты (координаты $y$) обеих точек одинаковы ($y_1 = y_2 = 2$), то прямая параллельна оси абсцисс Ox. Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — постоянное значение ординаты.

Следовательно, уравнение прямой: $y = 2$.

Проверим с помощью общей формулы. Так как $y_2 - y_1 = 2 - 2 = 0$, чтобы избежать деления на ноль, преобразуем каноническое уравнение к виду $(x - x_1)(y_2 - y_1) = (y - y_1)(x_2 - x_1)$.

$(x - 1)(2 - 2) = (y - 2)(3 - 1)$

$(x - 1) \cdot 0 = (y - 2) \cdot 2$

$0 = 2(y - 2)$

$y - 2 = 0$

$y = 2$

Ответ: $y = 2$.

б) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(2; 3)$.

Подставим координаты точек в каноническое уравнение прямой:

$x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 2, y_2 = 3$.

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 2}{3 - 2}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1}$

$x - 1 = y - 2$

Выразим $y$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:

$y = x - 1 + 2$

$y = x + 1$

Ответ: $y = x + 1$.

в) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(2; 1)$.

Подставим координаты точек в каноническое уравнение прямой:

$x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 2, y_2 = 1$.

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 2}{1 - 2}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1}$

$x - 1 = -(y - 2)$

$x - 1 = -y + 2$

Выразим $y$ из полученного уравнения:

$y = -x + 2 + 1$

$y = -x + 3$

Ответ: $y = -x + 3$.