Номер 108, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

108. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом:

а) $k = 1$;

б) $k = 2$;

в) $k = \frac{1}{2}$;

г) $k = -1$;

д) $k = -2$;

е) $k = -\frac{1}{2}$.

Изобразите эти прямые.

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — коэффициент, отвечающий за сдвиг прямой по оси $y$ (точка пересечения с осью $y$).

По условию, все прямые проходят через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставим эти координаты в общее уравнение прямой: $0 = k \cdot 0 + b$, откуда следует, что $b = 0$.

Таким образом, уравнение для всех искомых прямых имеет вид $y = kx$. Для построения графика каждой прямой нам нужны две точки. Одна точка — это всегда начало координат $(0, 0)$. Вторую точку можно найти, подставив любое ненулевое значение $x$ в уравнение.

а)

Для $k = 1$ уравнение прямой: $y = 1 \cdot x$, или $y = x$.Для построения графика, кроме точки $(0, 0)$, возьмем вторую точку, например, при $x = 1$, $y = 1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
Ответ: $y = x$.

б)

Для $k = 2$ уравнение прямой: $y = 2x$.Для построения графика найдем вторую точку. Например, при $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 = 2$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$.
Ответ: $y = 2x$.

в)

Для $k = \frac{1}{2}$ уравнение прямой: $y = \frac{1}{2}x$.Для построения графика найдем вторую точку. Удобно взять $x=2$, тогда $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.
Ответ: $y = \frac{1}{2}x$.

г)

Для $k = -1$ уравнение прямой: $y = -1 \cdot x$, или $y = -x$.Для построения графика найдем вторую точку. Например, при $x = 1$, $y = -1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -1)$.
Ответ: $y = -x$.

д)

Для $k = -2$ уравнение прямой: $y = -2x$.Для построения графика найдем вторую точку. Например, при $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 = -2$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$.
Ответ: $y = -2x$.

е)

Для $k = -\frac{1}{2}$ уравнение прямой: $y = -\frac{1}{2}x$.Для построения графика найдем вторую точку. Удобно взять $x=2$, тогда $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, -1)$.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$.

Изображение прямых:

На графике ниже изображены все шесть прямых. Каждая прямая проходит через начало координат $(0,0)$ и имеет свой угловой коэффициент $k$, который определяет ее наклон.

• При $k > 0$ (синяя, красная, зеленая прямые) прямые расположены в I и III координатных четвертях. Чем больше $k$, тем "круче" прямая идет вверх.
• При $k < 0$ (фиолетовая, оранжевая, бирюзовая прямые) прямые расположены во II и IV координатных четвертях. Чем меньше $k$ (т.е. чем больше его абсолютное значение), тем "круче" прямая идет вниз.