Номер 101, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

101. Найдите координаты центра C и радиус R окружности, заданной уравнением:

a) $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$;

б) $x^2 + (y - 6)^2 = 16$.

Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, нужно привести ее уравнение к каноническому виду. Каноническое уравнение окружности с центром в точке $C(a, b)$ и радиусом $R$ выглядит следующим образом:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
Здесь $a$ и $b$ — это координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

а) Рассматриваем уравнение $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$.
Сравним данное уравнение с канонической формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Член $(x - 2)^2$ соответствует $(x - a)^2$, откуда $a = 2$.
Член $(y + 5)^2$ можно переписать как $(y - (-5))^2$, что соответствует $(y - b)^2$, откуда $b = -5$.
Таким образом, координаты центра окружности $C$ равны $(2, -5)$.
Правая часть уравнения равна 9, что соответствует $R^2$. То есть, $R^2 = 9$.
Радиус $R$ — это положительный квадратный корень из $R^2$: $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: Координаты центра $C(2, -5)$, радиус $R = 3$.

б) Рассматриваем уравнение $x^2 + (y - 6)^2 = 16$.
Сравним данное уравнение с канонической формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Член $x^2$ можно представить как $(x - 0)^2$, что соответствует $(x - a)^2$, откуда $a = 0$.
Член $(y - 6)^2$ соответствует $(y - b)^2$, откуда $b = 6$.
Таким образом, координаты центра окружности $C$ равны $(0, 6)$.
Правая часть уравнения равна 16, что соответствует $R^2$. То есть, $R^2 = 16$.
Радиус $R$ равен квадратному корню из $16$: $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: Координаты центра $C(0, 6)$, радиус $R = 4$.