Номер 98, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

98. Точки $O(0; 0)$, $A(6; 2)$, $B$ и $C(0; 6)$ являются последовательными вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки $B$.

Пусть искомая вершина B имеет координаты $(x_B; y_B)$. В условии сказано, что точки O(0; 0), A(6; 2), B и C(0; 6) являются последовательными вершинами параллелограмма. Обозначим этот параллелограмм как OABC.

Для решения задачи можно использовать свойство векторов в параллелограмме или свойство его диагоналей. Воспользуемся свойством диагоналей: диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это значит, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали OB.

1. Найдем координаты середины диагонали AC. Обозначим эту точку как M. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_A + x_C}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_C}{2}$.

Подставим известные координаты точек A(6; 2) и C(0; 6): $x_M = \frac{6 + 0}{2} = 3$
$y_M = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Таким образом, точка M имеет координаты (3; 4).

2. Теперь найдем координаты середины диагонали OB. Эта точка также является точкой M. $x_M = \frac{x_O + x_B}{2}$ и $y_M = \frac{y_O + y_B}{2}$.

Подставим известные координаты точки O(0; 0) и неизвестные координаты точки B($x_B; y_B$): $x_M = \frac{0 + x_B}{2} = \frac{x_B}{2}$
$y_M = \frac{0 + y_B}{2} = \frac{y_B}{2}$

3. Поскольку точка M является серединой обеих диагоналей, мы можем приравнять выражения для ее координат, полученные в шагах 1 и 2: $\frac{x_B}{2} = 3$
$\frac{y_B}{2} = 4$

Решая эти простые уравнения, находим координаты точки B: $x_B = 3 \cdot 2 = 6$
$y_B = 4 \cdot 2 = 8$
Следовательно, вершина B имеет координаты (6; 8).

Проверка с помощью векторов: В параллелограмме OABC вектор $\vec{OA}$ должен быть равен вектору $\vec{CB}$.
Координаты вектора $\vec{OA} = (6 - 0; 2 - 0) = (6; 2)$.
Координаты вектора $\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (x_B - 0; y_B - 6) = (x_B; y_B - 6)$.
Приравнивая координаты векторов: $x_B = 6$ и $y_B - 6 = 2$, откуда $y_B = 8$. Результат совпадает.

Ответ: B(6; 8).