Номер 91, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

91. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 3 см и 1 см, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

Для нахождения площади трапеции используется формула: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота.

Из условия задачи мы знаем длины оснований: большее основание $a = 3$ см, меньшее основание $b = 1$ см. Нам необходимо найти высоту $h$.

Рассмотрим данную прямоугольную трапецию. Обозначим её вершины как $ABCD$, где $AD$ – большее основание, $BC$ – меньшее основание, а $AB$ – боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Таким образом, $AB$ является высотой трапеции, $h = AB$. Большая боковая сторона $CD$ образует с основанием $AD$ угол $45^\circ$, то есть $\angle ADC = 45^\circ$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Так как $ABCD$ – прямоугольная трапеция, а $CH$ – высота, то фигура $ABCH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $CH = AB = h$ и $AH = BC = 1$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Один из его катетов, $CH$, равен высоте трапеции $h$. Длину второго катета, $HD$, можно найти как разность между длиной большего основания $AD$ и отрезка $AH$:$HD = AD - AH$.Поскольку $AH = BC$, то $HD = AD - BC = 3 - 1 = 2$ см.

В прямоугольном треугольнике $CHD$ нам известен угол $\angle CDH = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому второй острый угол $\angle HCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.Так как два угла в треугольнике $CHD$ равны, он является равнобедренным, а значит, его катеты равны: $CH = HD$.

Отсюда следует, что высота трапеции $h = CH = HD = 2$ см.

Теперь, зная оба основания и высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{3 + 1}{2} \cdot 2 = \frac{4}{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4$ см².

Ответ: 4 см².