Номер 90, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

90. Основания трапеции равны 36 см и 12 см, боковая сторона, равная 7 см, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

По условию задачи, основания трапеции равны $a = 36$ см и $b = 12$ см. Одна из боковых сторон равна $c = 7$ см. Для вычисления площади необходимо найти высоту трапеции $h$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. По условию, боковая сторона образует с одним из оснований угол $150^\circ$. Это тупой угол. Следовательно, угол при той же боковой стороне, но при другом основании, будет острым и равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Чтобы найти высоту трапеции, опустим перпендикуляр из вершины, образующей острый угол ($30^\circ$) с основанием, на это основание. Получится прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет боковая сторона ($c=7$ см), а катетом, противолежащим углу в $30^\circ$, — высота $h$.

Высоту можно найти по формуле $h = c \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между боковой стороной и основанием. Если мы используем острый угол, то $\alpha = 30^\circ$.
$h = 7 \cdot \sin(30^\circ) = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5$ см.

Стоит отметить, что если бы мы использовали тупой угол $150^\circ$, результат был бы тем же, так как $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Теперь, когда известны оба основания и высота, мы можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{36 + 12}{2} \cdot 3.5 = \frac{48}{2} \cdot 3.5 = 24 \cdot 3.5 = 84$ см².

Ответ: $84$ см².