Номер 83, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

83. Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Проведем в нем медиану $BM$ из вершины $B$ к стороне $AC$.

По определению, медиана делит сторону, к которой она проведена, на два равных отрезка. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$, и $AM = MC$.

Медиана $BM$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Площадь треугольника определяется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — это длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Эта высота $BH$ является общей для обоих треугольников: для $\triangle ABM$ с основанием $AM$ и для $\triangle CBM$ с основанием $MC$, так как их основания лежат на одной прямой $AC$.

Найдем площадь треугольника $ABM$:
$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$

Теперь найдем площадь треугольника $CBM$:
$S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot BH$

Поскольку $BM$ является медианой, мы знаем, что $AM = MC$. Сравнивая формулы для площадей, мы видим, что их правые части равны, так как состоят из одинаковых множителей. Отсюда следует, что и сами площади равны:
$S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$

Треугольники, имеющие равные площади, называются равновеликими. Следовательно, медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что медиана делит одну из сторон треугольника на два равных отрезка ($AM=MC$). Два треугольника, образованные медианой ($\triangle ABM$ и $\triangle CBM$), имеют равные основания ($AM$ и $MC$) и общую высоту ($BH$), проведенную из общей вершины ($B$) к этим основаниям. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту ($S = \frac{1}{2}ah$), то площади этих двух треугольников равны.