Номер 92, страница 137 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

92. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие части.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $AD = a$ и $BC = b$. Пусть $h$ — высота трапеции.

Пусть точка $M$ — середина основания $BC$, а точка $N$ — середина основания $AD$. По определению середины отрезка имеем:

$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$

$AN = ND = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$

Отрезок $MN$ соединяет середины оснований и разделяет трапецию $ABCD$ на два четырехугольника: $ABMN$ и $MCDN$.

Рассмотрим четырехугольник $ABMN$. Так как основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), то их части $AN$ и $BM$ также параллельны ($AN \parallel BM$). Следовательно, $ABMN$ является трапецией с основаниями $AN$ и $BM$. Высота этой трапеции совпадает с высотой исходной трапеции и равна $h$.

Найдем площадь трапеции $ABMN$ по формуле площади трапеции $S = \frac{\text{сумма оснований}}{2} \cdot \text{высота}$:

$S_{ABMN} = \frac{AN + BM}{2} \cdot h = \frac{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}{2} \cdot h = \frac{a+b}{4}h$

Теперь рассмотрим четырехугольник $MCDN$. Аналогично, так как $AD \parallel BC$, то и $ND \parallel MC$. Следовательно, $MCDN$ также является трапецией с основаниями $ND$ и $MC$. Ее высота также равна $h$.

Найдем площадь трапеции $MCDN$:

$S_{MCDN} = \frac{ND + MC}{2} \cdot h = \frac{\frac{a}{2} + \frac{b}{2}}{2} \cdot h = \frac{a+b}{4}h$

Сравнивая площади двух полученных трапеций, видим, что они равны:

$S_{ABMN} = S_{MCDN} = \frac{a+b}{4}h$

Поскольку площади фигур равны, они являются равновеликими. Таким образом, отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие части.

Ответ: Что и требовалось доказать.