Номер 103, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

103. Выясните, как расположена точка относительно окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 25$, если она имеет координаты:

а) (1; 2);

б) (3; 4);

в) (-4; 3);

г) (0; 5);

д) (5; -1).

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 25$ описывает окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r$, квадрат которого равен 25. Таким образом, радиус окружности $r = \sqrt{25} = 5$.

Чтобы определить, где находится точка с координатами $(x_0, y_0)$ по отношению к окружности, нужно вычислить расстояние от центра окружности до этой точки или, что проще, подставить координаты точки в левую часть уравнения $x^2 + y^2$ и сравнить результат с $r^2 = 25$.

Существуют три возможных случая для точки $(x_0, y_0)$ и значения $S = x_0^2 + y_0^2$:
1. Если $S < 25$, то расстояние от центра до точки меньше радиуса, и точка находится внутри окружности.
2. Если $S = 25$, то расстояние от центра до точки равно радиусу, и точка находится на окружности.
3. Если $S > 25$, то расстояние от центра до точки больше радиуса, и точка находится вне окружности.

Проверим каждую точку:

а) Для точки с координатами $(1; 2)$:
Подставляем $x = 1$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:
$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Сравниваем результат с 25: $5 < 25$.
Следовательно, точка расположена внутри окружности.
Ответ: точка находится внутри окружности.

б) Для точки с координатами $(3; 4)$:
Подставляем $x = 3$ и $y = 4$ в левую часть уравнения:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка находится на окружности.

в) Для точки с координатами $(-4; 3)$:
Подставляем $x = -4$ и $y = 3$ в левую часть уравнения:
$(-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка находится на окружности.

г) Для точки с координатами $(0; 5)$:
Подставляем $x = 0$ и $y = 5$ в левую часть уравнения:
$0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка находится на окружности.

д) Для точки с координатами $(5; -1)$:
Подставляем $x = 5$ и $y = -1$ в левую часть уравнения:
$5^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26$.
Сравниваем результат с 25: $26 > 25$.
Следовательно, точка расположена вне окружности.
Ответ: точка находится вне окружности.