Номер 105, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

105. Докажите, что уравнение:

а) $x^2 - 4x + y^2 = 0$;

б) $x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$ задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра.

а) Чтобы доказать, что уравнение $x^2 - 4x + y^2 = 0$ задает окружность, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ – это координаты центра, а $R$ – это радиус.
Для этого выделим полный квадрат для переменной $x$.
Исходное уравнение: $x^2 - 4x + y^2 = 0$
Группируем члены с $x$: $(x^2 - 4x) + y^2 = 0$
Чтобы получить полный квадрат $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$, нам нужно добавить и вычесть $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$
Сворачиваем полный квадрат: $(x - 2)^2 - 4 + y^2 = 0$
Переносим свободный член в правую часть уравнения:
$(x - 2)^2 + y^2 = 4$
Это уравнение соответствует каноническому виду, если записать его как $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$.
Так как мы смогли привести исходное уравнение к каноническому виду уравнения окружности и $R^2 = 4 > 0$, то оно действительно задает окружность.
Координаты центра окружности $(x_0, y_0)$ равны $(2, 0)$.
Радиус окружности $R$ равен $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: уравнение задает окружность с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $R = 2$.

б) Чтобы доказать, что уравнение $x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$ задает окружность, также приведем его к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Для этого выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Исходное уравнение: $x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$
Группируем члены с $x$ и члены с $y$: $(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) + 4 = 0$
Выделяем полный квадрат для $x$: добавляем и вычитаем $(\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$.
Выделяем полный квадрат для $y$: добавляем и вычитаем $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.
$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 4 = 0$
Сворачиваем полные квадраты:
$(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 = 0$
Переносим свободный член в правую часть:
$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$
Это уравнение соответствует каноническому виду, если записать его как $(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 1^2$.
Так как мы смогли привести исходное уравнение к каноническому виду уравнения окружности и $R^2 = 1 > 0$, то оно действительно задает окружность.
Координаты центра окружности $(x_0, y_0)$ равны $(-1, 2)$.
Радиус окружности $R$ равен $\sqrt{1} = 1$.
Ответ: уравнение задает окружность с центром в точке $(-1, 2)$ и радиусом $R = 1$.