Номер 112, страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

112. Изобразите геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

а) $0 \le x \le 3; 0 \le y \le 3;$

б) $x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 3.$

а) Требуется найти геометрическое место точек, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств:
$0 \le x \le 3$
$0 \le y \le 3$
Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.
Первое двойное неравенство $0 \le x \le 3$ задает на координатной плоскости множество точек, абсциссы которых находятся в промежутке от $0$ до $3$ включительно. Геометрически это вертикальная полоса, ограниченная прямыми $x=0$ (ось OY) и $x=3$.
Второе двойное неравенство $0 \le y \le 3$ задает множество точек, ординаты которых находятся в промежутке от $0$ до $3$ включительно. Геометрически это горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y=0$ (ось OX) и $y=3$.
Геометрическое место точек, удовлетворяющее всей системе, является пересечением этих двух полос. Пересечение вертикальной и горизонтальной полос образует прямоугольник. В данном случае, так как длины сторон равны ($3-0=3$), это квадрат.
Вершины этого квадрата находятся в точках пересечения граничных прямых $x=0, x=3, y=0, y=3$. Это точки с координатами $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(3, 3)$ и $(0, 3)$.
Поскольку все неравенства нестрогие (содержат знак $\le$), то границы области — стороны квадрата — включаются в искомое геометрическое место точек.
Ответ: Искомое геометрическое место точек — это квадрат с вершинами в точках $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(3, 3)$, $(0, 3)$, включающий свою внутреннюю область и границы.

б) Требуется найти геометрическое место точек, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств:
$x \ge 0$
$y \ge 0$
$x + y \le 3$
Рассмотрим каждое неравенство.
Неравенство $x \ge 0$ задает правую полуплоскость относительно оси OY, включая саму ось.
Неравенство $y \ge 0$ задает верхнюю полуплоскость относительно оси OX, включая саму ось.
В совокупности неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$ определяют первую координатную четверть, включая ее границы (положительные полуоси).
Третье неравенство $x + y \le 3$ задает полуплоскость. Чтобы определить ее, построим граничную прямую $x + y = 3$. Эта прямая проходит через точки $(3, 0)$ (пересечение с осью OX) и $(0, 3)$ (пересечение с осью OY). Для определения нужной полуплоскости возьмем пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставив ее в неравенство, получим $0 + 0 \le 3$, что является верным утверждением ($0 \le 3$). Значит, искомая полуплоскость содержит начало координат и расположена ниже прямой $x + y = 3$.
Геометрическое место точек, удовлетворяющее всей системе, является пересечением первой координатной четверти и полуплоскости $x + y \le 3$.
Это пересечение представляет собой треугольник, ограниченный прямыми $x=0$, $y=0$ и $x+y=3$.
Вершинами этого треугольника являются точки пересечения данных прямых:
- $x=0$ и $y=0$ $\implies$ $(0, 0)$
- $y=0$ и $x+y=3$ $\implies$ $x=3$ $\implies$ $(3, 0)$
- $x=0$ и $x+y=3$ $\implies$ $y=3$ $\implies$ $(0, 3)$
Поскольку все неравенства нестрогие, границы треугольника (его катеты и гипотенуза) включаются в искомое множество.
Ответ: Искомое геометрическое место точек — это прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(3, 0)$ и $(0, 3)$, включающий свою внутреннюю область и границы.