Страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие отрезки называют пропорциональными?

2. Сформулируйте и докажите теорему о пропорциональных отрезках.

3. Что называют косинусом острого угла? Как его обозначают?

4. Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры и не зависит от расположения и размеров треугольника.

5. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

6. Какой треугольник называется египетским?

1. Какие отрезки называют пропорциональными?

Отрезки $AB$ и $CD$ называют пропорциональными отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если отношение их длин является равным. То есть, если выполняется равенство:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$

Это означает, что во сколько раз отрезок $AB$ длиннее (или короче) отрезка $A_1B_1$, во столько же раз отрезок $CD$ длиннее (или короче) отрезка $C_1D_1$.

Ответ: Пропорциональными называют пары отрезков ($AB$ и $A_1B_1$, $CD$ и $C_1D_1$), отношение длин которых равно: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$.

2. Сформулируйте и докажите теорему о пропорциональных отрезках.

Формулировка теоремы (Обобщенная теорема Фалеса): Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть дан угол с вершиной $O$, и его стороны пересекают две параллельные прямые в точках $A_1, A_2$ на одной стороне и $B_1, B_2$ на другой, так что $A_1B_1 \parallel A_2B_2$. Докажем, что отрезки, отсекаемые на сторонах угла, пропорциональны, например $\frac{OA_1}{A_1A_2} = \frac{OB_1}{B_1B_2}$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$.

2. Угол $\angle O$ у них общий. Углы $\angle OA_1B_1$ и $\angle OA_2B_2$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $A_2B_2$ и секущей $OA_2$.

3. Следовательно, треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$ подобны по двум углам.

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OB_1}{OB_2}$

5. Запишем длины отрезков $OA_2$ и $OB_2$ как $OA_2 = OA_1 + A_1A_2$ и $OB_2 = OB_1 + B_1B_2$. Подставим это в пропорцию:

$\frac{OA_1}{OA_1 + A_1A_2} = \frac{OB_1}{OB_1 + B_1B_2}$

6. Перевернем дроби (это равносильное преобразование пропорции):

$\frac{OA_1 + A_1A_2}{OA_1} = \frac{OB_1 + B_1B_2}{OB_1}$

7. Разделим почленно левую и правую части:

$\frac{OA_1}{OA_1} + \frac{A_1A_2}{OA_1} = \frac{OB_1}{OB_1} + \frac{B_1B_2}{OB_1}$

$1 + \frac{A_1A_2}{OA_1} = 1 + \frac{B_1B_2}{OB_1}$

8. Вычтем 1 из обеих частей равенства:

$\frac{A_1A_2}{OA_1} = \frac{B_1B_2}{OB_1}$

9. Снова перевернем дроби, чтобы получить итоговое соотношение:

$\frac{OA_1}{A_1A_2} = \frac{OB_1}{B_1B_2}$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема о пропорциональных отрезках утверждает, что если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, отсекаемые на одной стороне, пропорциональны соответствующим отрезкам на другой стороне. Доказательство основано на подобии треугольников.

3. Что называют косинусом острого угла? Как его обозначают?

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.

Для острого угла $\alpha$ его косинус обозначается как $\cos \alpha$.

Если рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$, и угол $\alpha$ является прилежащим к катету $b$, то косинус этого угла будет равен:

$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$

Ответ: Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Обозначается как $\cos \alpha$.

4. Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Доказательство:

Пусть дан некоторый острый угол $\alpha$ с вершиной в точке $A$. Построим два произвольных прямоугольных треугольника, содержащих этот угол. Для этого на одной стороне угла выберем точки $C_1$ и $C_2$ и опустим из них перпендикуляры $C_1B_1$ и $C_2B_2$ на другую сторону угла. Получим два прямоугольных треугольника, $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$, с прямыми углами при вершинах $B_1$ и $B_2$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$.

2. Угол $\angle A = \alpha$ — общий для обоих треугольников.

3. Углы $\angle AB_1C_1$ и $\angle AB_2C_2$ — прямые по построению, значит, они равны.

4. Следовательно, треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$ подобны по двум углам.

5. По определению косинуса для этих треугольников:

В $\triangle AB_1C_1$: $\cos \alpha = \frac{AB_1}{AC_1}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

В $\triangle AB_2C_2$: $\cos \alpha = \frac{AB_2}{AC_2}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

6. Так как треугольники подобны, отношения их соответственных сторон равны:

$\frac{AB_1}{AB_2} = \frac{AC_1}{AC_2}$

7. Используя основное свойство пропорции (можно поменять местами средние члены), преобразуем это равенство:

$\frac{AB_1}{AC_1} = \frac{AB_2}{AC_2}$

8. Это доказывает, что значение косинуса для угла $\alpha$ не зависит от выбора конкретного прямоугольного треугольника. Оно определяется только величиной самого угла.

Ответ: Косинус угла зависит только от его градусной меры, так как любые два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом подобны. Из-за подобия отношение прилежащего катета к гипотенузе для этого угла всегда будет постоянным, независимо от размеров треугольника.

5. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Формулировка теоремы: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов $AC = b$ и $BC = a$, а длину гипотенузы $AB = c$.

1. Проведем из вершины прямого угла $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$.

2. Высота $CH$ делит гипотенузу на два отрезка $AH$ и $BH$, которые являются проекциями катетов $b$ и $a$ на гипотенузу.

3. Прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ подобен исходному $\triangle ABC$ (по общему острому углу $\angle A$).

4. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}$ или $\frac{b}{c} = \frac{AH}{b}$, откуда $b^2 = c \cdot AH$. (1)

5. Прямоугольный треугольник $\triangle CBH$ подобен исходному $\triangle ABC$ (по общему острому углу $\angle B$).

6. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{BC}{AB} = \frac{BH}{BC}$ или $\frac{a}{c} = \frac{BH}{a}$, откуда $a^2 = c \cdot BH$. (2)

7. Сложим полученные равенства (1) и (2):

$a^2 + b^2 = c \cdot BH + c \cdot AH$

8. Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$a^2 + b^2 = c \cdot (AH + BH)$

9. Поскольку $AH + BH = AB = c$, то получаем:

$a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2$

Таким образом, $c^2 = a^2 + b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты. Доказательство проводится через построение высоты к гипотенузе и использование подобия образовавшихся треугольников.

6. Какой треугольник называется египетским?

Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник, длины сторон которого соотносятся как 3:4:5.

Самый известный пример — треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Он является прямоугольным, так как для него выполняется теорема Пифагора:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$

Древние египтяне использовали этот треугольник для построения прямых углов. Любой треугольник, стороны которого равны $3k, 4k, 5k$ (где $k$ — коэффициент пропорциональности, положительное число), также является египетским и прямоугольным.

Ответ: Египетский треугольник — это прямоугольный треугольник со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5.

Практическая работа

1. Постройте отрезок и разделите его на указанное число равных частей:

1) 3; 2) 4; 3) 5.

2. Постройте на глаз прямоугольный треугольник, проверьте правильность построения чертежа при помощи измерений и теоремы Пифагора (используйте калькулятор).

1. Для деления отрезка на заданное число равных частей используется метод, основанный на теореме Фалеса. Он позволяет точно разделить отрезок с помощью циркуля и линейки без делений.

Общий алгоритм деления отрезка AB на n равных частей:

1. Начертить отрезок AB.
2. Из одного из его концов (например, A) провести произвольный луч, не лежащий на прямой AB.
3. На этом луче, начиная от точки A, отложить с помощью циркуля n равных между собой отрезков. Обозначить концы этих отрезков $C_1, C_2, \ldots, C_n$.
4. Соединить точку $C_n$ с другим концом исходного отрезка (точкой B).
5. Через точки $C_1, C_2, \ldots, C_{n-1}$ провести прямые, параллельные отрезку $C_nB$.
6. Согласно теореме Фалеса, точки пересечения этих прямых с отрезком AB разделят его на n равных частей.

1) Деление на 3 равные части

Чтобы разделить отрезок на 3 части, нужно выполнить общий алгоритм для $n=3$. На вспомогательном луче откладываются три равных отрезка, после чего строятся параллельные прямые. Точки их пересечения с исходным отрезком разделят его на 3 равные части.

Ответ: Построение выполняется по теореме Фалеса, для чего на вспомогательном луче откладывается 3 равных отрезка.

2) Деление на 4 равные части

Для деления на 4 части можно использовать два способа:

• По теореме Фалеса: выполнить общий алгоритм для $n=4$, отложив на вспомогательном луче 4 равных отрезка.
• Методом деления пополам: сначала разделить исходный отрезок пополам. Затем каждую из полученных половинок снова разделить пополам. Этот способ удобен для чисел, являющихся степенями двойки (2, 4, 8...).

Ответ: Построение можно выполнить либо по теореме Фалеса (отложив 4 равных отрезка), либо двукратным делением отрезка пополам.

3) Деление на 5 равных частей

Для деления отрезка на 5 частей применяется общий алгоритм для $n=5$. На вспомогательном луче откладывается пять равных отрезков, после чего проводятся параллельные прямые, которые и разделят исходный отрезок на пять равных частей.

Ответ: Построение выполняется по теореме Фалеса, для чего на вспомогательном луче откладывается 5 равных отрезков.

2. Для проверки, является ли начерченный "на глаз" треугольник прямоугольным, используется обратная теорема Пифагора. Она гласит: если сумма квадратов длин двух сторон треугольника равна квадрату длины третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Порядок действий:

1. Построение: Нарисуйте на бумаге треугольник ABC, в котором угол $\angle C$ выглядит прямым.
2. Измерение: С помощью линейки измерьте длины всех трех сторон: катетов $a=BC$ и $b=AC$, и гипотенузы $c=AB$. Гипотенуза является самой длинной стороной.
3. Пример измерений: Допустим, измерения дали следующие результаты: $a = 6.2$ см, $b = 8.3$ см, $c = 10.4$ см.
4. Проверка по формуле: Необходимо проверить, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$. Используйте калькулятор для вычислений.
   Вычисляем сумму квадратов катетов:
   $a^2 + b^2 = (6.2)^2 + (8.3)^2 = 38.44 + 68.89 = 107.33$
   Вычисляем квадрат гипотенузы:
   $c^2 = (10.4)^2 = 108.16$
5. Вывод: Сравним полученные результаты: $107.33$ и $108.16$. Значения достаточно близки. Небольшое расхождение ($108.16 - 107.33 = 0.83$) можно объяснить погрешностями при рисовании "на глаз" и измерении линейкой. Таким образом, можно сделать вывод, что построенный треугольник близок к прямоугольному.

Ответ: Нужно нарисовать треугольник, измерить его стороны $a, b, c$ (где $c$ — самая длинная сторона). Затем с помощью калькулятора проверить равенство $a^2 + b^2 = c^2$. Если значения $a^2 + b^2$ и $c^2$ равны или очень близки, то построение можно считать верным.