Вопросы, страница 56 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие отрезки называют пропорциональными?

2. Сформулируйте и докажите теорему о пропорциональных отрезках.

3. Что называют косинусом острого угла? Как его обозначают?

4. Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры и не зависит от расположения и размеров треугольника.

5. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

6. Какой треугольник называется египетским?

1. Какие отрезки называют пропорциональными?

Отрезки $AB$ и $CD$ называют пропорциональными отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если отношение их длин является равным. То есть, если выполняется равенство:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$

Это означает, что во сколько раз отрезок $AB$ длиннее (или короче) отрезка $A_1B_1$, во столько же раз отрезок $CD$ длиннее (или короче) отрезка $C_1D_1$.

Ответ: Пропорциональными называют пары отрезков ($AB$ и $A_1B_1$, $CD$ и $C_1D_1$), отношение длин которых равно: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$.

2. Сформулируйте и докажите теорему о пропорциональных отрезках.

Формулировка теоремы (Обобщенная теорема Фалеса): Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть дан угол с вершиной $O$, и его стороны пересекают две параллельные прямые в точках $A_1, A_2$ на одной стороне и $B_1, B_2$ на другой, так что $A_1B_1 \parallel A_2B_2$. Докажем, что отрезки, отсекаемые на сторонах угла, пропорциональны, например $\frac{OA_1}{A_1A_2} = \frac{OB_1}{B_1B_2}$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$.

2. Угол $\angle O$ у них общий. Углы $\angle OA_1B_1$ и $\angle OA_2B_2$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $A_2B_2$ и секущей $OA_2$.

3. Следовательно, треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$ подобны по двум углам.

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OB_1}{OB_2}$

5. Запишем длины отрезков $OA_2$ и $OB_2$ как $OA_2 = OA_1 + A_1A_2$ и $OB_2 = OB_1 + B_1B_2$. Подставим это в пропорцию:

$\frac{OA_1}{OA_1 + A_1A_2} = \frac{OB_1}{OB_1 + B_1B_2}$

6. Перевернем дроби (это равносильное преобразование пропорции):

$\frac{OA_1 + A_1A_2}{OA_1} = \frac{OB_1 + B_1B_2}{OB_1}$

7. Разделим почленно левую и правую части:

$\frac{OA_1}{OA_1} + \frac{A_1A_2}{OA_1} = \frac{OB_1}{OB_1} + \frac{B_1B_2}{OB_1}$

$1 + \frac{A_1A_2}{OA_1} = 1 + \frac{B_1B_2}{OB_1}$

8. Вычтем 1 из обеих частей равенства:

$\frac{A_1A_2}{OA_1} = \frac{B_1B_2}{OB_1}$

9. Снова перевернем дроби, чтобы получить итоговое соотношение:

$\frac{OA_1}{A_1A_2} = \frac{OB_1}{B_1B_2}$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема о пропорциональных отрезках утверждает, что если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, отсекаемые на одной стороне, пропорциональны соответствующим отрезкам на другой стороне. Доказательство основано на подобии треугольников.

3. Что называют косинусом острого угла? Как его обозначают?

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.

Для острого угла $\alpha$ его косинус обозначается как $\cos \alpha$.

Если рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$, и угол $\alpha$ является прилежащим к катету $b$, то косинус этого угла будет равен:

$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$

Ответ: Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Обозначается как $\cos \alpha$.

4. Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Доказательство:

Пусть дан некоторый острый угол $\alpha$ с вершиной в точке $A$. Построим два произвольных прямоугольных треугольника, содержащих этот угол. Для этого на одной стороне угла выберем точки $C_1$ и $C_2$ и опустим из них перпендикуляры $C_1B_1$ и $C_2B_2$ на другую сторону угла. Получим два прямоугольных треугольника, $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$, с прямыми углами при вершинах $B_1$ и $B_2$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$.

2. Угол $\angle A = \alpha$ — общий для обоих треугольников.

3. Углы $\angle AB_1C_1$ и $\angle AB_2C_2$ — прямые по построению, значит, они равны.

4. Следовательно, треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$ подобны по двум углам.

5. По определению косинуса для этих треугольников:

В $\triangle AB_1C_1$: $\cos \alpha = \frac{AB_1}{AC_1}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

В $\triangle AB_2C_2$: $\cos \alpha = \frac{AB_2}{AC_2}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

6. Так как треугольники подобны, отношения их соответственных сторон равны:

$\frac{AB_1}{AB_2} = \frac{AC_1}{AC_2}$

7. Используя основное свойство пропорции (можно поменять местами средние члены), преобразуем это равенство:

$\frac{AB_1}{AC_1} = \frac{AB_2}{AC_2}$

8. Это доказывает, что значение косинуса для угла $\alpha$ не зависит от выбора конкретного прямоугольного треугольника. Оно определяется только величиной самого угла.

Ответ: Косинус угла зависит только от его градусной меры, так как любые два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом подобны. Из-за подобия отношение прилежащего катета к гипотенузе для этого угла всегда будет постоянным, независимо от размеров треугольника.

5. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Формулировка теоремы: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов $AC = b$ и $BC = a$, а длину гипотенузы $AB = c$.

1. Проведем из вершины прямого угла $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$.

2. Высота $CH$ делит гипотенузу на два отрезка $AH$ и $BH$, которые являются проекциями катетов $b$ и $a$ на гипотенузу.

3. Прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ подобен исходному $\triangle ABC$ (по общему острому углу $\angle A$).

4. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}$ или $\frac{b}{c} = \frac{AH}{b}$, откуда $b^2 = c \cdot AH$. (1)

5. Прямоугольный треугольник $\triangle CBH$ подобен исходному $\triangle ABC$ (по общему острому углу $\angle B$).

6. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{BC}{AB} = \frac{BH}{BC}$ или $\frac{a}{c} = \frac{BH}{a}$, откуда $a^2 = c \cdot BH$. (2)

7. Сложим полученные равенства (1) и (2):

$a^2 + b^2 = c \cdot BH + c \cdot AH$

8. Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$a^2 + b^2 = c \cdot (AH + BH)$

9. Поскольку $AH + BH = AB = c$, то получаем:

$a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2$

Таким образом, $c^2 = a^2 + b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты. Доказательство проводится через построение высоты к гипотенузе и использование подобия образовавшихся треугольников.

6. Какой треугольник называется египетским?

Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник, длины сторон которого соотносятся как 3:4:5.

Самый известный пример — треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Он является прямоугольным, так как для него выполняется теорема Пифагора:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$

Древние египтяне использовали этот треугольник для построения прямых углов. Любой треугольник, стороны которого равны $3k, 4k, 5k$ (где $k$ — коэффициент пропорциональности, положительное число), также является египетским и прямоугольным.

Ответ: Египетский треугольник — это прямоугольный треугольник со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5.