Номер 1.202, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.202. Докажите, что около четырехугольника, полученного при пересечении биссектрис произвольного выпуклого четырехугольника, можно описать окружность.

Пусть дан произвольный выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим его внутренние углы как $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Известно, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^{\circ}$:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$

Проведем биссектрисы внутренних углов четырехугольника $ABCD$. Пусть биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $Q$, биссектрисы углов $B$ и $C$ — в точке $R$, биссектрисы углов $C$ и $D$ — в точке $S$, а биссектрисы углов $D$ и $A$ — в точке $P$. В результате пересечения этих биссектрис образуется четырехугольник $PQRS$.

Для того чтобы доказать, что около четырехугольника $PQRS$ можно описать окружность, необходимо доказать, что он является вписанным. Согласно свойству вписанного четырехугольника, сумма его противолежащих углов должна быть равна $180^{\circ}$. Докажем, что сумма углов при вершинах $P$ и $R$ равна $180^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $APD$, образованный вершинами $A, D$ исходного четырехугольника и точкой $P$ — точкой пересечения их биссектрис. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $D$ равны половинам соответствующих углов четырехугольника $ABCD$, так как $AP$ и $DP$ — биссектрисы:

$\angle PAD = \frac{\angle A}{2}$
$\angle PDA = \frac{\angle D}{2}$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Угол $\angle APD$ является внутренним углом $\angle P$ четырехугольника $PQRS$. Найдем его величину:

$\angle P = \angle APD = 180^{\circ} - (\angle PAD + \angle PDA) = 180^{\circ} - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle D}{2}\right) = 180^{\circ} - \frac{\angle A + \angle D}{2}$

Аналогично рассмотрим треугольник $BRC$, образованный вершинами $B, C$ и точкой $R$ — точкой пересечения их биссектрис. Углы этого треугольника при вершинах $B$ и $C$ равны:

$\angle RBC = \frac{\angle B}{2}$
$\angle RCB = \frac{\angle C}{2}$

Угол $\angle BRC$ является внутренним углом $\angle R$ четырехугольника $PQRS$. Его величина равна:

$\angle R = \angle BRC = 180^{\circ} - (\angle RBC + \angle RCB) = 180^{\circ} - \left(\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2}\right) = 180^{\circ} - \frac{\angle B + \angle C}{2}$

Теперь найдем сумму противолежащих углов $\angle P$ и $\angle R$ четырехугольника $PQRS$:

$\angle P + \angle R = \left(180^{\circ} - \frac{\angle A + \angle D}{2}\right) + \left(180^{\circ} - \frac{\angle B + \angle C}{2}\right)$

$\angle P + \angle R = 360^{\circ} - \frac{\angle A + \angle B + \angle C + \angle D}{2}$

Подставим в это выражение известную сумму углов четырехугольника $ABCD$:

$\angle P + \angle R = 360^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{2} = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$

Поскольку сумма противолежащих углов ($\angle P$ и $\angle R$) четырехугольника $PQRS$ равна $180^{\circ}$, то он является вписанным в окружность. Это означает, что около него можно описать окружность.

Ответ: Что и требовалось доказать.