Номер 1.201, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.201. Если в параллелограмм можно вписать и около него описать окружность, то он является квадратом. Докажите.

Для доказательства утверждения мы воспользуемся свойствами вписанных и описанных четырехугольников. Пусть дан параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и углами $\alpha$ и $\beta$.

Свойство описанной окружности
Около четырехугольника можно описать окружность в том и только в том случае, если сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.
В параллелограмме противолежащие углы равны. Пусть это углы $\alpha$ и $\gamma$. По свойству параллелограмма, $\alpha = \gamma$.
Для того чтобы около параллелограмма можно было описать окружность, должно выполняться условие $\alpha + \gamma = 180^\circ$.
Подставив $\alpha = \gamma$, получим: $ \alpha + \alpha = 180^\circ \implies 2\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 90^\circ $
Параллелограмм, у которого один из углов прямой, является прямоугольником. Таким образом, из возможности описать окружность следует, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Свойство вписанной окружности
В четырехугольник можно вписать окружность в том и только в том случае, если суммы длин его противолежащих сторон равны (теорема Пито).
В параллелограмме противолежащие стороны равны. Пусть длины смежных сторон равны $a$ и $b$. Тогда две противолежащие стороны имеют длину $a$, а две другие — длину $b$.
Согласно теореме Пито, должно выполняться равенство: $ a + a = b + b \implies 2a = 2b \implies a = b $
Параллелограмм, у которого все стороны равны ($a=b$), является ромбом. Таким образом, из возможности вписать окружность следует, что данный параллелограмм — ромб.

Заключение
Из двух вышеизложенных пунктов следует, что данный параллелограмм должен быть одновременно и прямоугольником (все углы равны $90^\circ$), и ромбом (все стороны равны).
Фигура, которая является одновременно прямоугольником и ромбом, по определению является квадратом.

Ответ: Что и требовалось доказать.