Номер 1.195, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.195. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в который по условию можно вписать окружность. Требуется доказать, что $ABCD$ является ромбом.

Доказательство строится на двух ключевых свойствах: свойстве параллелограмма и свойстве описанного четырехугольника.

1. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Обозначим длины его смежных сторон как $a$ и $b$. Тогда $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$.

2. По условию, в параллелограмм можно вписать окружность. Четырехугольник, в который можно вписать окружность, называется описанным. Для любого описанного четырехугольника справедлива теорема о том, что суммы длин его противолежащих сторон равны (теорема Пито).

Применительно к нашему параллелограмму $ABCD$ это свойство записывается в виде следующего равенства:
$AB + CD = BC + DA$

3. Теперь подставим в это равенство длины сторон, используя свойство параллелограмма из пункта 1:
$a + a = b + b$
$2a = 2b$
$a = b$

4. Равенство $a = b$ означает, что смежные стороны параллелограмма равны. Параллелограмм, у которого все стороны равны (или, что то же самое, у которого равны смежные стороны), по определению является ромбом.

Таким образом, мы доказали, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.

Ответ: Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является описанным четырехугольником. Согласно свойству описанного четырехугольника, суммы его противолежащих сторон равны. Пусть смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Тогда выполняется равенство $a+a = b+b$, из которого следует, что $a=b$. Поскольку все стороны параллелограмма оказываются равными, он является ромбом.