Номер 1.189, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.189. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого, взятые в последовательном порядке, относятся как: 1) 2, 3, 4, 3; 2) 7, 2, 4, 5?

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Сумма всех углов выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$. Используя эти факты, проверим каждый случай.

1) 2, 3, 4, 3

Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, соотносятся как $2:3:4:3$. Тогда их можно представить в виде $2x, 3x, 4x$ и $3x$. Сумма всех углов четырехугольника составляет $360^\circ$. Составим и решим уравнение:
$2x + 3x + 4x + 3x = 360^\circ$
$12x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждого угла:
Первый угол: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
Второй угол: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$
Третий угол: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$
Четвертый угол: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Проверим суммы противолежащих углов (первого с третьим и второго с четвертым):
$60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$
$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Так как суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, условие выполняется.
Ответ: да.

2) 7, 2, 4, 5

Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, соотносятся как $7:2:4:5$. Обозначим их как $7x, 2x, 4x$ и $5x$. Сумма углов равна $360^\circ$:
$7x + 2x + 4x + 5x = 360^\circ$
$18x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Найдем градусные меры каждого угла:
Первый угол: $7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$
Второй угол: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$
Третий угол: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$
Четвертый угол: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

Проверим суммы противолежащих углов (первого с третьим и второго с четвертым):
$140^\circ + 80^\circ = 220^\circ$
$40^\circ + 100^\circ = 140^\circ$
Так как суммы противолежащих углов не равны $180^\circ$, условие не выполняется.
Ответ: нет.