Номер 1.187, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.187. Постройте квадрат:

1) вписанный в данную окружность;

2) описанный около данной окружности;

3) по радиусу описанной окружности;

4) по радиусу вписанной окружности.

1) вписанный в данную окружность

Пусть дана окружность с центром в точке O.

Анализ: Вершины вписанного квадрата лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Построение:

1. Проводим через центр O произвольную прямую. Точки ее пересечения с окружностью, назовем их A и C, будут двумя противоположными вершинами искомого квадрата. Отрезок AC является диагональю квадрата и диаметром окружности.
2. Строим прямую, перпендикулярную диаметру AC и проходящую через центр O. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к отрезку AC. Точки пересечения этой новой прямой с окружностью обозначим B и D. Отрезок BD — это вторая диагональ квадрата.
3. Последовательно соединяем отрезками точки A, B, C и D.

Полученный четырехугольник ABCD является искомым квадратом, так как все его вершины лежат на окружности, а его диагонали AC и BD равны (как диаметры), взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения O пополам.

Ответ: Квадрат, вписанный в данную окружность, построен.

2) описанный около данной окружности

Пусть дана окружность с центром в точке O и радиусом r.

Анализ: Стороны описанного квадрата являются касательными к окружности. Точки касания являются концами двух взаимно перпендикулярных диаметров. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности ($a=2r$).

Построение:

1. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра. Обозначим их концы A, C и B, D.
2. В каждой из точек A, B, C, D строим касательную к окружности. Касательная в точке на окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.
3. Точки пересечения этих четырех касательных образуют вершины искомого квадрата.

Построенный четырехугольник является квадратом, так как его стороны попарно параллельны (как перпендикуляры к одной прямой), смежные стороны перпендикулярны (так как построены касательно в концах перпендикулярных диаметров), а расстояние между параллельными сторонами равно диаметру окружности, следовательно, все стороны равны.

Ответ: Квадрат, описанный около данной окружности, построен.

3) по радиусу описанной окружности

Пусть дан отрезок R, равный радиусу описанной окружности.

Построение:

1. Выбираем произвольную точку O на плоскости.
2. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке O и радиусом, равным данному отрезку R.
3. Далее задача сводится к выполнению построения из пункта 1: строим квадрат, вписанный в построенную окружность.
4. Проводим произвольный диаметр AC.
5. Строим диаметр BD, перпендикулярный диаметру AC.
6. Последовательно соединяем точки A, B, C, D.

Полученный квадрат ABCD является искомым, так как он вписан в окружность заданного радиуса R.

Ответ: Квадрат по заданному радиусу описанной окружности построен.

4) по радиусу вписанной окружности

Пусть дан отрезок r, равный радиусу вписанной окружности.

Построение:

1. Выбираем произвольную точку O на плоскости.
2. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке O и радиусом, равным данному отрезку r. Эта окружность будет вписанной в искомый квадрат.
3. Далее задача сводится к выполнению построения из пункта 2: строим квадрат, описанный около построенной окружности.
4. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра.
5. Через четыре конца этих диаметров проводим касательные к окружности.
6. Точки пересечения касательных образуют вершины искомого квадрата.

Сторона полученного квадрата равна диаметру построенной окружности, то есть $a = 2r$. Следовательно, радиус вписанной в него окружности равен r.

Ответ: Квадрат по заданному радиусу вписанной окружности построен.