Страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Используя метод, показанный в теореме 3, докажите, что окружность, вписанная в треугольник ADK, касается стороны BC четырехугольника ABCD.

1. Что такое вписанный и описанный многоугольники?

2. Какой угол называют вписанным?

3. Какая зависимость существует между вписанным углом и дугой, на которую он опирается (соответствующим центральным углом)? Сформулируйте и докажите соответствующее свойство.

4. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов вписанного четырехугольника.

5. Сформулируйте и докажите теорему об описанных четырехугольниках.

6. В какие параллелограммы можно вписать окружность?

Около каких параллелограммов можно описать окружность?

7. Какой вид имеет трапеция:

1) вписанная в окружность;

2) описанная около окружности?

1. Что такое вписанный и описанный многоугольники?

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Сама окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник.

Ответ: Вписанный многоугольник — тот, у которого все вершины лежат на окружности. Описанный многоугольник — тот, у которого все стороны касаются окружности.

2. Какой угол называют вписанным?

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (содержат хорды этой окружности).

Ответ: Угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами этой окружности.

3. Какая зависимость существует между вписанным углом и дугой, на которую он опирается (соответствующим центральным углом)? Сформулируйте и докажите соответствующее свойство.

Свойство (Теорема о вписанном угле): Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается, или половине соответствующего этой дуге центрального угла.

Доказательство:
Рассмотрим вписанный угол $ABC$ и центр окружности $O$. Возможны три случая расположения центра окружности относительно угла.

Случай 1: Один из лучей угла проходит через центр окружности.
Пусть луч $BC$ является диаметром. Треугольник $AOB$ — равнобедренный, так как $OA = OB$ как радиусы. Следовательно, углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Угол $AOC$ — внешний угол треугольника $AOB$, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AOC = \angle OAB + \angle OBA = 2\angle OBA = 2\angle ABC$. Так как градусная мера дуги $AC$ равна величине центрального угла $\angle AOC$, получаем: $\angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$.

Случай 2: Центр окружности лежит внутри угла.
Проведем диаметр $BD$ через вершину $B$. Этот диаметр разделит угол $ABC$ на два угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. По доказанному в случае 1: $\angle ABD = \frac{1}{2} \text{дуги } AD$ $\angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } DC$ Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } AD + \frac{1}{2} \text{дуги } DC = \frac{1}{2}(\text{дуга } AD + \text{дуга } DC) = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$.

Случай 3: Центр окружности лежит вне угла.
Проведем диаметр $BD$ через вершину $B$. По доказанному в случае 1: $\angle ABD = \frac{1}{2} \text{дуги } AD$ $\angle CBD = \frac{1}{2} \text{дуги } CD$ Тогда $\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = \frac{1}{2} \text{дуги } AD - \frac{1}{2} \text{дуги } CD = \frac{1}{2}(\text{дуга } AD - \text{дуга } CD) = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$. Теорема доказана для всех случаев.

Ответ: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

4. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов вписанного четырехугольника.

Теорема: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Доказательство:
Пусть четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Рассмотрим противолежащие углы $\angle A$ и $\angle C$. Угол $\angle A$ — вписанный и опирается на дугу $BCD$. По теореме о вписанном угле, его величина равна $\angle A = \frac{1}{2} \text{дуги } BCD$. Угол $\angle C$ — вписанный и опирается на дугу $DAB$. Его величина равна $\angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } DAB$. Сложим величины этих углов: $\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } BCD + \frac{1}{2} \text{дуги } DAB = \frac{1}{2} (\text{дуга } BCD + \text{дуга } DAB)$. Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе составляют полную окружность, градусная мера которой равна $360^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$. Аналогично доказывается, что $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Теорема доказана.

Ответ: Теорема: Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырехугольника равна $180^\circ$.

5. Сформулируйте и докажите теорему об описанных четырехугольниках.

Теорема (Теорема Пито): В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Доказательство (в одну сторону):
Докажем, что если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противолежащих сторон равны. Пусть в четырехугольник $ABCD$ вписана окружность, которая касается его сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ в точках $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны: $AK = AN$ $BK = BL$ $CL = CM$ $DM = DN$ Найдем сумму длин противолежащих сторон $AB$ и $CD$: $AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD) = AK + BK + CM + DM$. Теперь найдем сумму длин других противолежащих сторон $BC$ и $DA$: $BC + DA = (BL + LC) + (DN + NA) = BL + CL + DN + AN$. Сравнивая правые части этих равенств и учитывая равенство отрезков касательных, видим, что они равны: $AK+BK+CM+DM = AN+BL+CL+DN$. Следовательно, $AB + CD = BC + DA$. Теорема доказана.

Ответ: Теорема: В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. ($AB + CD = BC + DA$).

6. В какие параллелограммы можно вписать окружность? Около каких параллелограммов можно описать окружность?

В какие параллелограммы можно вписать окружность?
Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы его противолежащих сторон равны. Для параллелограмма $ABCD$ противолежащие стороны равны: $AB=CD$ и $BC=DA$. Условие вписанной окружности: $AB + CD = BC + DA$. Подставим свойства параллелограмма: $AB + AB = BC + BC$, что дает $2AB = 2BC$, откуда $AB=BC$. Если у параллелограмма смежные стороны равны, то все его стороны равны. Такой параллелограмм является ромбом.

Около каких параллелограммов можно описать окружность?
Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. У параллелограмма противолежащие углы равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Условие описанной окружности: $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Подставим свойство параллелограмма: $\angle A + \angle A = 180^\circ$, что дает $2\angle A = 180^\circ$, откуда $\angle A = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: Вписать окружность можно в ромб. Описать окружность можно около прямоугольника.

7. Какой вид имеет трапеция: 1) вписанная в окружность; 2) описанная около окружности?

1) вписанная в окружность;
Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной (равнобокой) трапецией. Доказательство: Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD || BC$ вписана в окружность. Так как хорды $AD$ и $BC$ параллельны, то дуги, заключенные между ними, равны: дуга $AB$ = дуга $CD$. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$. Трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной.

2) описанная около окружности?
Трапеция, описанная около окружности, это трапеция, у которой сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Доказательство: Это следует напрямую из теоремы Пито для описанных четырехугольников. Если $a$ и $b$ — основания трапеции, а $c$ и $d$ — её боковые стороны, то для описанной трапеции выполняется равенство $a + b = c + d$.

Ответ: 1) Вписанная трапеция является равнобедренной. 2) Описанная трапеция — это трапеция, у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Практическая работа

1. Постройте вписанную и описанную окружности, если даны:

1) равносторонний треугольник;

2) квадрат.

2. В данную окружность впишите трапецию и около нее опишите трапецию.

1) равносторонний треугольник;

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения его биссектрис, медиан и высот, которые для данной фигуры также совпадают. Построение выполняется в следующем порядке:
Шаг 1. Дан равносторонний треугольник $ABC$.
Шаг 2. Находим общий центр $O$ для обеих окружностей. Для этого с помощью циркуля и линейки строим биссектрисы двух любых углов (например, $\angle A$ и $\angle B$). Точка их пересечения $O$ и будет искомым центром. Также центр можно найти, построив серединные перпендикуляры к двум любым сторонам.
Шаг 3. Строим вписанную окружность. Радиус вписанной окружности $r$ равен длине перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на любую из сторон. Строим перпендикуляр $OH$ к стороне $AC$. С помощью циркуля чертим окружность с центром в $O$ и радиусом $r = OH$.
Шаг 4. Строим описанную окружность. Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин треугольника. С помощью циркуля чертим окружность с центром в $O$ и радиусом $R = OA$.

Ответ: Построение выполнено. Центр вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника совпадает и находится в точке пересечения его биссектрис (или медиан, или высот). Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до любой из сторон, а радиус описанной — расстоянию от центра до любой из вершин.

2) квадрат.

У квадрата, как у правильного многоугольника, центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Этот центр находится в точке пересечения его диагоналей. Алгоритм построения следующий:
Шаг 1. Дан квадрат $ABCD$.
Шаг 2. Находим центр окружностей. С помощью линейки проводим диагонали $AC$ и $BD$. Точка их пересечения $O$ является искомым центром.
Шаг 3. Строим вписанную окружность. Ее радиус $r$ равен расстоянию от центра $O$ до любой стороны, что составляет половину длины стороны квадрата. Для построения находим середину $M$ любой стороны (например, $AB$). Длина отрезка $OM$ и есть радиус $r$. Чертим окружность с центром в $O$ и радиусом $r = OM$.
Шаг 4. Строим описанную окружность. Ее радиус $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой вершины, что составляет половину длины диагонали квадрата. Чертим окружность с центром в $O$ и радиусом $R = OA$.

Ответ: Построение выполнено. Центр обеих окружностей для квадрата находится в точке пересечения его диагоналей. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, а радиус описанной — половине его диагонали.

2. В данную окружность впишите трапецию и около нее опишите трапецию.

Эта задача состоит из двух отдельных построений.

Построение трапеции, вписанной в окружность:
В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. Алгоритм построения:
1. В данной окружности с центром $O$ проведите произвольную хорду $AD$. Она будет одним из оснований трапеции.
2. Постройте хорду $BC$, параллельную хорде $AD$. Самый простой способ — провести диаметр, перпендикулярный $AD$, и отложить от него на равном расстоянии по обе стороны хорду $BC$.
3. Последовательно соедините точки $A, B, C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомая равнобедренная трапеция, вписанная в окружность.

Построение трапеции, описанной около окружности:
Трапецию можно описать около окружности, если суммы длин ее противоположных сторон равны. Высота такой трапеции равна диаметру вписанной окружности. Алгоритм построения:
1. В данной окружности проведите произвольный диаметр. Через его концы постройте две касательные к окружности. Эти касательные будут параллельны и будут содержать основания будущей трапеции.
2. Проведите третью касательную к окружности в любой точке на ней (кроме концов выбранного диаметра). Эта касательная пересечет две параллельные прямые и образует одну из боковых сторон трапеции.
3. Аналогично постройте четвертую касательную, которая образует вторую боковую сторону. Полученная фигура из четырех касательных является трапецией, описанной около окружности. Чтобы трапеция была равнобедренной, третья и четвертая касательные должны быть симметричны относительно прямой, содержащей выбранный диаметр.

Ответ: Чтобы вписать трапецию, строят две параллельные хорды и соединяют их концы. Чтобы описать трапецию, строят четыре касательные: две из них параллельны друг другу (основания), а две другие их пересекают (боковые стороны).

1.187. Постройте квадрат:

1) вписанный в данную окружность;

2) описанный около данной окружности;

3) по радиусу описанной окружности;

4) по радиусу вписанной окружности.

1) вписанный в данную окружность

Пусть дана окружность с центром в точке O.

Анализ: Вершины вписанного квадрата лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Построение:

1. Проводим через центр O произвольную прямую. Точки ее пересечения с окружностью, назовем их A и C, будут двумя противоположными вершинами искомого квадрата. Отрезок AC является диагональю квадрата и диаметром окружности.
2. Строим прямую, перпендикулярную диаметру AC и проходящую через центр O. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к отрезку AC. Точки пересечения этой новой прямой с окружностью обозначим B и D. Отрезок BD — это вторая диагональ квадрата.
3. Последовательно соединяем отрезками точки A, B, C и D.

Полученный четырехугольник ABCD является искомым квадратом, так как все его вершины лежат на окружности, а его диагонали AC и BD равны (как диаметры), взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения O пополам.

Ответ: Квадрат, вписанный в данную окружность, построен.

2) описанный около данной окружности

Пусть дана окружность с центром в точке O и радиусом r.

Анализ: Стороны описанного квадрата являются касательными к окружности. Точки касания являются концами двух взаимно перпендикулярных диаметров. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности ($a=2r$).

Построение:

1. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра. Обозначим их концы A, C и B, D.
2. В каждой из точек A, B, C, D строим касательную к окружности. Касательная в точке на окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.
3. Точки пересечения этих четырех касательных образуют вершины искомого квадрата.

Построенный четырехугольник является квадратом, так как его стороны попарно параллельны (как перпендикуляры к одной прямой), смежные стороны перпендикулярны (так как построены касательно в концах перпендикулярных диаметров), а расстояние между параллельными сторонами равно диаметру окружности, следовательно, все стороны равны.

Ответ: Квадрат, описанный около данной окружности, построен.

3) по радиусу описанной окружности

Пусть дан отрезок R, равный радиусу описанной окружности.

Построение:

1. Выбираем произвольную точку O на плоскости.
2. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке O и радиусом, равным данному отрезку R.
3. Далее задача сводится к выполнению построения из пункта 1: строим квадрат, вписанный в построенную окружность.
4. Проводим произвольный диаметр AC.
5. Строим диаметр BD, перпендикулярный диаметру AC.
6. Последовательно соединяем точки A, B, C, D.

Полученный квадрат ABCD является искомым, так как он вписан в окружность заданного радиуса R.

Ответ: Квадрат по заданному радиусу описанной окружности построен.

4) по радиусу вписанной окружности

Пусть дан отрезок r, равный радиусу вписанной окружности.

Построение:

1. Выбираем произвольную точку O на плоскости.
2. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке O и радиусом, равным данному отрезку r. Эта окружность будет вписанной в искомый квадрат.
3. Далее задача сводится к выполнению построения из пункта 2: строим квадрат, описанный около построенной окружности.
4. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра.
5. Через четыре конца этих диаметров проводим касательные к окружности.
6. Точки пересечения касательных образуют вершины искомого квадрата.

Сторона полученного квадрата равна диаметру построенной окружности, то есть $a = 2r$. Следовательно, радиус вписанной в него окружности равен r.

Ответ: Квадрат по заданному радиусу вписанной окружности построен.